Приложения производной.Дифференциал функции

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Приложения производной.Дифференциал функции

Содержание

2. План Правило Лопиталя Дифференциал функции Приближенные вычисления Функция двух переменных: а) частные производные; б) дифференцирование сложной
3. Правило Лопиталя Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных
4. Дифференциал функции y=f(x), по определению производной При малых это отношение сколь угодно мало отличается от производной
5. Определение дифференциала функции Если y=x , то dy=dx=1 Def: Дифференциалом функции называется произведение производной функции на
6. Приближенные вычисления Дифференциал применяется в приближённых вычислениях. Рабочая формула следует из соотношения (1) Примеры: 1. 2.
7. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Всякая функция от нескольких переменных становится функцией от меньшего числа переменных, если часть
8. Частные производные Определение 2. Частной производной функции z = z (x, y) по аргументу х называется
9. Частные дифференциалы Пусть функция z=f(x,y) имеет частные производные и Тогда произведение каждой частной производной на дифференциал
10. Полный дифференциал Def: Пусть функция двух переменных имеет в окрестности некоторой точки непрерывные частные производные по
11. Частные производные второго порядка Def: Частными производными второго порядка функции z = z (x, y) называются
12. Дифференцирование сложной функции Пусть z = z (x, y), где x = x(u, v), y =
13. Задача: Дана функция z = yx, где . Найти z′u и z′v
14. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. Def: Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки . Говорят,что
16. Скачать презентацию

Слайд 2

План
Правило Лопиталя
Дифференциал функции
Приближенные вычисления
Функция двух переменных:
а) частные производные;
б) дифференцирование

сложной функции;
в) экстремум функции двух независимых переменных

Слайд 3

Правило Лопиталя
Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен

пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует (в указанном смысле).
Примеры:
1 .
2 .

Слайд 4

Дифференциал функции
y=f(x), по определению производной
При малых это отношение сколь угодно мало
отличается

от производной ф-и в т х0, т.е. можно
принять, что или
(1)
левая часть (1) есть приращение ф-и (*)
Это приближённое значение приращения ф-и
Называется дифференциалом функции и обозначается dy.

Слайд 5

Определение дифференциала функции
Если y=x , то
dy=dx=1
Def: Дифференциалом функции
называется произведение производной
функции на

дифференциал независимой
переменной.
Def: Дифференциалом второго порядка
функции f(x) называется дифференциал от
дифференциала первого порядка этой
функции

Дифференциалы высших порядков от
независимой переменной равны 0.

Слайд 6

Приближенные вычисления
Дифференциал применяется в приближённых
вычислениях. Рабочая формула следует из
соотношения (1)
Примеры:
1.
2.
f(x)=

Слайд 7

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Всякая функция от нескольких переменных
становится функцией от меньшего числа

переменных, если часть переменных зафиксировать, т. е. придать им постоянные значения.
Определение 1. Если каждой паре действительных чисел (х;у)
из области D ставится в соответствие по определенному
правилу только одно число z из области E, то говорят, что
на множестве D задана функция двух переменных z = z (x, y).
Здесь D – область определения функции, E – множество ее
значений, х, у – независимые переменные.
Значение z (a; b) функции z (x, y) есть значение этой функции,
вычисленное при x = a, y = b.
Пример 1. Дана функция . Найти значение
функции в т. М (0; 1). .

Слайд 8

Частные производные
Определение 2. Частной производной функции z = z (x,

y) по аргументу х
называется производная этой функции по х при постоянном у.
Обозначения: z’x, .
Аналогично частной производной функции
z = z (x, y) по аргументу у называется производная этой функции по у при
постоянном х.
Обозначения: z’y, .
Из определения следует, что на момент дифференцирования функция z
является функцией одной переменной и, следовательно, при нахождении
частных производных справедливы обычные правила и формулы
дифференцирования функций одной переменной.
При дифференцировании полезна следующая таблица:
x′x = 1, x′y = 0
y′y = 1, y′x = 0
C′x = 0, C′y = 0, C = const.

Слайд 9

Частные дифференциалы
Пусть функция z=f(x,y) имеет частные
производные и
Тогда произведение каждой
частной производной

на дифференциал
соответствующей независимой
переменной называется частным
дифференциалом данной
функции, взятым по этой переменной.
частный дифференциал по x
частный дифференциал по y

Слайд 10

Полный дифференциал
Def: Пусть функция двух переменных имеет в
окрестности некоторой точки

непрерывные частные
производные по каждой переменной. Тогда полный
дифференциал этой функции равен сумме всех её
частных дифференциалов и обозначается так:
dz для функции z=f(x,y)
Пример:

Слайд 11

Частные производные второго порядка
Def: Частными производными второго порядка
функции z = z

(x, y) называются
производные от частных производных первого
порядка т.е.
Порядок дифференцирования указан в индексе при
прочтении слева направо.
Последние две производные, отличаются только
порядком дифференцирования, называются
смешанными и в случае их непрерывности равны.

Слайд 12

Дифференцирование сложной функции
Пусть z = z (x, y), где x =

x(u, v), y = y (u, v),
u и v – независимые переменные,
т.е. z = z (x (u, v), y (u, v)) = f (u, v) – сложная
функция. Тогда ее частные производные z′u
и z′v могут быть найдены по формулам:
z′u = z′x ⋅ x′u + z′y ⋅ y′u (1)
z′v = z′x ⋅ x′v + z′y ⋅ y′v (2).

Слайд 13

Задача:
Дана функция z = yx, где .
Найти z′u и z′v

Слайд 14

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Def: Пусть функция z=f(x,y) определена
в некоторой окрестности

точки .
Говорят,что функция имеет в этой
точке строгий максимум (минимум) ,
если
для всех точек (x,y), достаточно
Близких к .

Приложения производной.Дифференциал функции

Содержание

ПланПравило ЛопиталяДифференциал функцииПриближенные вычисленияФункция двух переменных: а) частные производные; б) дифференцирование

Правило ЛопиталяПредел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен

Дифференциал функцииy=f(x), по определению производнойПри малых это отношение сколь угодно малоотличается

Определение дифференциала функцииЕсли y=x , тоdy=dx=1Def: Дифференциалом функцииназывается произведение производнойфункции на

Приближенные вычисленияДифференциал применяется в приближённыхвычислениях. Рабочая формула следует изсоотношения (1)Примеры:1.2.f(x)=

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.Всякая функция от нескольких переменныхстановится функцией от меньшего числа

Частные производные Определение 2. Частной производной функции z = z (x,

Частные дифференциалыПусть функция z=f(x,y) имеет частныепроизводные и Тогда произведение каждойчастной производной

Полный дифференциалDef: Пусть функция двух переменных имеет в окрестности некоторой точки

Частные производные второго порядкаDef: Частными производными второго порядкафункции z = z

Дифференцирование сложной функцииПусть z = z (x, y), где x =

Задача:Дана функция z = yx, где .Найти z′u и z′v

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.Def: Пусть функция z=f(x,y) определенав некоторой окрестности

Похожие презентации