Дифференциальное исчисление

НОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ АРГУМЕНТА, А f(х) = f(х+ х) – f(x) -СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ f(х). f(х)
СОСТАВИМ ОТНОШЕНИЕ Х .
ПО АНАЛОГИИ С ДВИЖЕНИЕМ В ФИЗИКЕ ЭТО ОТНОШЕНИЕ МОЖНО НАЗВАТЬ СРЕДНЕЙ СКОРОСТЬЮ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ.

Пусть Δх ? O, ТОГДА ПРЕДЕЛ
НАЗЫВАЕТСЯ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ f(x) В ТОЧКЕ Х.
ДРУГИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ: Y’ , .

x o

lim

f(x) x

= f '(x)

d y d x

ТОЧКЕ х. ЕСЛИ ЖЕ ПРЕДЕЛ
РАВЕН ∞ , ТО ГОВОРЯТ, ЧТО ФУНКИЯ f(x) ИМЕЕТ БЕСКОНЕЧНУЮ ПРОИЗВОДНУЮ.
ДОКАЖЕМ, ЧТО Х’=1.
В ЭТОМ СЛУЧАЕ f(x) = X, f(x+ x) = x+ x.
ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ f(x) = f(x+ x) – f(x) = X+ X - X = X
СОСТАВИМ ОТНОШЕНИЕ
F(x) X
X X
X’ = lim 1 = 1 ⬄ X’ = 1 , ЧТО И ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ.

=

М0N (ПРОВЕДЕННОЙ К КРИВОЙ f(x) В ТОЧКЕ Х) К ПОЛОЖИТЕЛЬНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ ОСИ Оx. ЧТО ТАКОЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ? ЕСЛИ ПРИ (М1 ? М0) СЕКУЩАЯ М1М0 СТРЕМИТСЯ ЗАНЯТЬ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ М0N, ТО ЭТА ПРЯМАЯ М0N НАЗЫВАЕТСЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К КРИВОЙ f(x) В ТОЧКЕ М0 (ПРИ ЗАДАННОМ Х).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ:

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

ПУСТЬ ТЕЛО ДВИЖЕТСЯ ПРЯМОЛИНЕЙНО, И ЗАКОН ЕГО ДВИЖЕНИЯ ПО ВРЕМЕНИ ЗАДАН УРАВНЕНИЕМ S=S(t), ГДЕ S- РАССТОЯНИЕ, ПРОЙДЕННОЕ К МОМЕНТУ ВРЕМЕНИ t. ТОГДА ПРОИЗВОДНАЯ S’(t) ЕСТЬ МНГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ В МОМЕНТ t, Т.Е.

V(t) = S'(t)

Т.Е. ФУНКЦИИ U(x) И V(x)
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫ, ТОГДА
( U + V )’ = U’ + V’
( UV )’ = U’ V + V’ U – ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА
( )’ = , V ≠ 0
( CU )’ = C U‘ , C – const.

Т.Е. y = f(u(x)) – СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ, ПРИЧЕМ ФУНКЦИИ f(u) И u(x) ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫ. ТОГДА ПРОИЗВОДНАЯ y’(x) МОЖЕТ БЫТЬ НАЙДЕНА ПО ФОРМУЛЕ:
Y’(x) = f’u(u(x)) . u’(x).
В ЧАСТНОСТИ, ЕСЛИ f(u) – ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ФУНКЦИЯ, ТО ПОЛУЧАЕМ ТАБЛИЦУ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ:

С ’= 0, C – const.
(Un)’= n . Un-1 . U’ , n - const.
( )’ = - . U’
( U)’ = . U’
(sinU)’ = cosU . U’
(cosU)’ = - sinU . U’

ТАБЛИЦА I

№

= . U’
10. (arccosU)’ = - . U’
11. (arctgU)’ = . U’
12. (arcctgU)’ = - . U’
13. (аu)’ = аu . lna . U’ , a>O, a≠1
14. (еu)’ = еu . U’
15. (logaU)’ = . U’, a>O, a≠1
16. (lnU)’ = . U’
ЗАМЕЧАНИЕ: ЕСЛИ U = Х, ТО U’= X’=1,a ТАБЛИЦА I УПРОЩАЕТСЯ

1 1-U

2

1 1-U

2

1 1+U

2

1 1+U

2

таблица I /продолжение/

– const.
( )’= -
( X)’=
(sinX)’ = cosX
(cosX)’ = - sinX

1 Х

2

– 5X + 4)’= (X2)’– (5X)’+ 4’= 2X – 5.X’ + 0 = 2X- 5.1=
= 2X – 5.
2. y= 4 X + - , y’ = ?
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗУЕМ у К СУММЕ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ, ВВОДЯ ДРОБНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ.
y= X1/4 + 5X-1/3 - X-3. ТЕПЕРЬ y’= X-3/4 + 5(- )X-4/3 –
(-3)X-4 = - +
3. y = X5(2- +3X2) , y’ - ?
1-Й СПОСОБ (ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА).
y’ = (X5)’.(2- + 3X2)+(2- +3X2)’.X5 =
= 5X4(2- + 3X2) + (6X - ).X5= 10X4- + 15X6 +6X6 - =
= 10X4 – 2X5 + 21X6

1 X

4

5

5

+ 3X7 ). ТЕПЕРЬ
y’ = (2X5 - +3X7)’ = (2X5)’ – ( ) + (3X7)’ =
= 10X4 – 2X5 + 21X6.
4. f(x) = , f’(x) - ?
f’(x) = ( )’= = =
= =
5. y = , y’ = ?
y’= =
= =
= =

6

6

6

2

- (sinX + 2cosX) - (cosX - 2sinX) (2cosX + sinX)

2

2

2

(sin6X)’ = (sinU)’ = cosU . U’ = cos6X . (6X)’ = 6 cos6X
7. y = (1+5x)3 , y’ - ?
y’ = ((1 + 5x)3)’ = (U3)’ = 3U2 . U’ = 3(1+5x)2 . (1+5x)’ =
= 15 . (1+5x)2
8. (cos2X)’ = ((cosX)2)’ = (U2)’ = 2U . U’ = 2cosX . (cosX)’ =
= - 2cosX . sinX = - sin2X
9. (esinX2)’ = (eU)’ = eU . U’ = esinX2 . (sinX2)’ = esinX2 . (sinU)’ =
= esinX2 . cosU . U’ = esinX2 . cosX2 . (x2)’ = 2X . esinX2 . cosX2.

- 5 (2cosX + sinX)

2

u

u

u

=

=

=

2