Простейшие задачи квантовой механики. Линейный гармонический осциллятор

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Простейшие задачи квантовой механики. Линейный гармонический осциллятор

Содержание

2. Гармоническим осциллято- ром называется частица, со- вершающая гармонические колебания. Потенциальная энергия равна (11.1) поэтому уравнение Шредингера
3. Качественно задача подобна рассмотренной вы-ше задаче о движении частицы в потенциаль-ной яме, однако здесь имеется особенность,
4. Будем искать решение в виде (11.5) Тогда для функции v получаем следующее уравнение: (11.6) Будем искать
5. Подставим (11.7) в (11.6): Приравнивая нулю сумму коэффициентов при оди- наковых степенях, получаем следующие рекуррен- тные
6. Отсюда и из формулы (11.3) находим энергию ос-циллятора: (11.10) в частности, при n = 0 минимальная
7. Рекуррентная формула (11.8) позволяет последо-вательно вычислить все члены ряда. Функцию v можно теперь записать в виде:
9. Скачать презентацию

Слайд 2

Гармоническим осциллято-
ром называется частица, со-
вершающая гармонические
колебания. Потенциальная
энергия равна
(11.1)
поэтому уравнение Шредингера принимает

вид:
(11.2)

Слайд 3

Качественно задача подобна рассмотренной вы-ше задаче о движении частицы в потенциаль-ной

яме, однако здесь имеется особенность, из-за которой задача довольно сильно услож-няется: в пределах ямы потенциальная энергия не имеет постоянного значения, а изменяется по параболическому закону.
Обозначим: (11.3)
Тогда уравнение Шредингера принимает вид:
(11.4)

Слайд 4

Будем искать решение в виде
(11.5)
Тогда для функции v получаем следующее уравнение:
(11.6)
Будем

искать функцию v в виде бесконечного степенного ряда:
(11.7)
Для того, чтобы решение не обратилось в беско-
нечность, коэффициенты этого ряда надо подо-
брать так, чтобы они были равны нулю, начиная с
некоторого номера n+1. (Другими словами, беско-
нечный ряд должен превратиться в полином сте-
пени n).

Слайд 5

Подставим (11.7) в (11.6):
Приравнивая нулю сумму коэффициентов при оди-
наковых степенях, получаем

следующие рекуррен-
тные соотношения для коэффициентов ak:
(11.8)
Как видно из этого соотношения, для того, чтобы an ≠ 0, а an+2 = 0, необходимо, чтобы
λn = 2n+1 (11.9)

Слайд 6

Отсюда и из формулы (11.3) находим энергию ос-циллятора:
(11.10)
в частности, при n

= 0 минимальная энергия ос-циллятора не равна нулю:
(11.11)
что согласуется с соотношениями неопределен-ности. Энергия E0 называется "нулевой энер-гией"; она не исчезает даже когда температура стремится к абсолютному нулю.

Слайд 7

Рекуррентная формула (11.8) позволяет последо-вательно вычислить все члены ряда. Функцию v

можно теперь записать в виде:
если n четное
если n нечетное
Эти полиномы называются полиномами Эрмита и обозначаются . Таким образом, волно-вая функция Ψn, принадлежащая собственному значению En, выражается формулой
(11.12)

Простейшие задачи квантовой механики. Линейный гармонический осциллятор

Содержание

Гармоническим осциллято-ром называется частица, со-вершающая гармоническиеколебания. Потенциальнаяэнергия равна(11.1)поэтому уравнение Шредингера принимает

Качественно задача подобна рассмотренной вы-ше задаче о движении частицы в потенциаль-ной

Будем искать решение в виде(11.5)Тогда для функции v получаем следующее уравнение:(11.6)Будем

Подставим (11.7) в (11.6):Приравнивая нулю сумму коэффициентов при оди-наковых степенях, получаем

Отсюда и из формулы (11.3) находим энергию ос-циллятора:(11.10)в частности, при n

Рекуррентная формула (11.8) позволяет последо-вательно вычислить все члены ряда. Функцию v

Похожие презентации

Гармоническим осциллято-
ром называется частица, со-
вершающая гармонические
колебания. Потенциальная
энергия равна
(11.1)
поэтому уравнение Шредингера принимает

Будем искать решение в виде
(11.5)
Тогда для функции v получаем следующее уравнение:
(11.6)
Будем

Подставим (11.7) в (11.6):
Приравнивая нулю сумму коэффициентов при оди-
наковых степенях, получаем

Отсюда и из формулы (11.3) находим энергию ос-циллятора:
(11.10)
в частности, при n