Содержание
- 2. Раздел. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ посвящен всестороннему изучению линий на плоскости, плоскостей и линий в пространстве. 1. Общее
- 3. 1. Общее уравнение прямой на плоскости. π L х у 0 Докажем, что если на плоскости
- 4. Докажем, что уравнение А(х-х0)+В(у-у0)=0 (3) определяет прямую L, проходящую через точку М0 (х0;у0) и перпендику-лярную вектору
- 5. 2. Канонические уравнения прямой. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляюшим вектором этой прямой.
- 6. 3. Прямая с угловым коэффициентом. Рассмотрим прямую, непараллельную оси 0х. Введем понятие угла наклона этой прямой
- 7. 4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Пусть даны две точки: М1(х1;у1) и М2(х2;у2) М1(х1;у1;z1)
- 8. 5. Параметрические уравнения прямой. Получаются из канонического уравнения. Примем за параметр t каждое из отношений в
- 9. Рассмотрим какую угодно прямую L. Проведем через начало координат прямую n┴L, обозначим буквой Р точку пересечения
- 10. 7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть две прямые заданы своими
- 11. 7. Угол между двумя прямыми.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть
- 12. 7. Угол между двумя прямыми.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Пусть
- 13. БЛАГОДАРИМ ЗА ВНИМАНИЕ!
- 14. Канонические уравнения прямой в пространстве. Прямую линию в пространстве являющуюся линией пересечения двух различных и не
- 16. Скачать презентацию
Раздел. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
посвящен всестороннему изучению линий на плоскости, плоскостей и линий
Раздел. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ посвящен всестороннему изучению линий на плоскости, плоскостей и линий
1. Общее уравнение прямой на плоскости.
3. Прямая с угловым коэффициентом.
4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
2. Канонические уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
5. Параметрические уравнения прямой.
7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
6. Нормированное уравнение прямой.
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
И В ПРОСТРАНСТВЕ
1. Общее уравнение прямой на плоскости.
π
L
х
у
0
Докажем, что если на плоскости π
1. Общее уравнение прямой на плоскости.
π
L
х
у
0
Докажем, что если на плоскости π
Пусть фиксирована произвольная декартова прямоугольная система 0ху и задано уравнение 1-ой степени:
Ах+Ву+С=0 (1).
Это уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение (х0;у0):
Ах0+Ву0+С=0 (2).
Вычитаем (1)-(2), получаем:
А(х-х0)+В(у-у0)=0 (3).
Уравнение (3) эквивалентно уравнению (1).
Докажем, что уравнение
А(х-х0)+В(у-у0)=0 (3)
определяет прямую L, проходящую через точку
Докажем, что уравнение
А(х-х0)+В(у-у0)=0 (3)
определяет прямую L, проходящую через точку
Пусть точка М (х;у) лежит на указанной прямой, тогда векторы n={А;В} и М0М={х-х0;у-у0} ортогональны и их скалярное произведение равно нулю (т.е., n М0М=0): А(х-х0)+В(у-у0)=0.
Уравнение Ах+Ву+С=0 (1) с произвольными коэффи-циентами А, В и С такими, что А≠0 и В≠0 одновременно, называется общим уравнением прямой.
Мы доказали, что прямая, определяемая общим уравнением (1), ортогональна к вектору n={А;В}. Этот вектор называется нормальным.
1. Общее уравнение прямой на плоскости.
х
у
0
L
М0(х0;у0)
М(х;у)
n
уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
2. Канонические уравнения прямой.
Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть
2. Канонические уравнения прямой.
Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть
Задача. Найти уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(х1;у1) и имеющей заданный направляющий вектор q={l;m}.
х
у
0
L
М1(х1;у1)
q
М(х;у)
Пусть точка М (х;у) лежит на указанной пря-мой, тогда векторы q={l;m} и М1М={х-х1;у-у1} коллинеарны, т.е. координаты этих векторов пропорциональны:
Уравнение (4) – каноническое уравнение прямой на плоскости.
Заметим, что в каноническом уравнении (4) один из знаменателей l или m может оказаться равным нулю.
Аналогично определяются канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку пространства М1 (х1;у1;z1) и имеющей заданный направляющий вектор q={l;m;n}:
(5) - канонические ур-ия прямой в простр-ве.
3. Прямая с угловым коэффициентом.
Рассмотрим прямую, непараллельную оси 0х.
Введем понятие угла
3. Прямая с угловым коэффициентом.
Рассмотрим прямую, непараллельную оси 0х.
Введем понятие угла
Пусть рассматриваемая прямая пересекает ось 0х в точке А.
0
х
у
L
М
N
А
α
Возьмем на оси 0х произвольную точку М, лежащую по ту сторону от точки А, куда направлена ось 0х, а на рассматриваемой прямой произвольную точку N, лежащую по ту сторону от точки А, куда направлена ось 0у.
Угол α=ﮮNAM назовем углом наклона данной прямой к оси 0х.
Если прямая параллельна оси 0х или совпадает с ней, то угол наклона этой прямой к оси 0х будем считать равным 0.
Тангенс угла наклона прямой к оси 0х назовем угловым коэффициентом этой прямой: k=tgα.
Для прямой ║-ой оси 0х: k=0.
Для прямой ┴-ой оси 0х: k=∞.
Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(х1;у1) и имеющей данный угловой коэффициент k.
Утверждение. Если прямая не параллельна оси 0у и имеет направ-ляющий вектор q={l;m}, то угловой коэффициент этой прямой k=m/l.
Для того, чтобы вывести уравнение прямой, проходящей через заданную точку М1(х1;у1) и имеющей заданный угловой коэффициент k, умножим обе части канонического уравнения (4) на m и учтем, что m/l=k.
Получим: у-у1=k(х-х1); у=kх+b (7), b=у1-kх1.
Уравнение (7) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
b - представляет собой величину отрезка, отсекаемого данной прямой на оси 0у, начиная от начала координат.
4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть даны две точки:
4. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть даны две точки:
М1(х1;у1) и М2(х2;у2) М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2)
Ур-ия прямой, проходящие через две данные точки, имеют вид:
(8)
Для их получения достаточно заметить, что прямая проходит через точки:
М1(х1;у1) и М2(х2;у2) М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2)
и имеет направляющий вектор:
q=М1М2={х2-х1;у2-у1} q=М1М2={х2-х1;у2-у1;z2-z1}
и воспользоваться каноническими уравнениями.
5. Параметрические уравнения прямой.
Получаются из канонического уравнения. Примем за параметр t
5. Параметрические уравнения прямой.
Получаются из канонического уравнения. Примем за параметр t
(9)
Интерпретация. Если считать, что параметр t – это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения (9) определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью
(такое движение происходит по инерции).
Рассмотрим какую угодно прямую L. Проведем через начало координат прямую n┴L,
Рассмотрим какую угодно прямую L. Проведем через начало координат прямую n┴L,
0
х
у
L
Р
Θ
Цель: выразить уравнение прямой L через два параметра: 1) длину р отрезка ОР; 2) угол Θ между вектором n и осью 0х.
Так как n – единичный вектор, то его координаты, соответственно равные его проекциям на оси координат, имеют вид: .
Очевидно, что точка М(х;у) лежит на рассматриваемой прямой L тогда и только тогда, когда проекция вектора ОМ на ось, определяемую вектором n, равна р, т.е. .
Так как n – единичный вектор, то в силу определения скалярного произведения:
.
Следовательно, точка М(х;у) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению: хcosΘ+уsinΘ-р=0 (10)
6. Нормированное уравнение прямой.
Это и есть искомое уравнение прямой L, выраженное через два параметра: Θ и р. Это уравнение называется нормированным уравнением прямой.
n
М
7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пусть
7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пусть
Задача определения угла между этими прямыми сводится к определению угла φ между их направляющими векторами q1={l1;m1} и q2={l2;m2} q1={l1;m1;n1} и q2={l2;m2;n2}:
(11)
Условие ║-ти эквивалентно условию коллинеарности q1 и q2, заключается в пропорциональности координат:
Условие ┴-ти: =>
7. Угол между двумя прямыми.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности
7. Угол между двумя прямыми.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности
Пусть две прямые заданы общими уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0. Так как нормальными векторами этих прямых являются соответственно векторы n1={А1;В1} и n2={А2;В2}, то задача об определении угла между прямыми сводится к определению cosφ между n1 и n2:
(12)
Условие ║-ти прямых эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е.:
Условие ┴-ти прямых может быть получено из (12) (cosφ=0):
7. Угол между двумя прямыми.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности
7. Угол между двумя прямыми.7. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности
Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами у=k1х+b1 и у=k2х+b2 .
φ=α2-α1
Условие ║-ти прямых: k1=k2
Условие ┴-ти прямых: tgφ не существует, т.е.
1+ k1k2=0=> k2=-1/k1
0
х
у
α1
α2
φ
БЛАГОДАРИМ ЗА ВНИМАНИЕ!
БЛАГОДАРИМ ЗА ВНИМАНИЕ!
Канонические уравнения прямой в пространстве.
Прямую линию в пространстве являющуюся линией пересечения
Канонические уравнения прямой в пространстве.
Прямую линию в пространстве являющуюся линией пересечения
(5)
Замечание. Для того, чтобы плоскости, определяемые уравнениями А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0 не совпадали и не были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций:
Выведем уравнения прямой, проходящей через данную точку пространства М1 (х1;у1;z1) и имеющей заданный направляющий вектор q={l;m;n}. Заметим, что точка М(х;у;z) лежит на указанной прямой тог-да и только тогда, когда векторы q={l;m;n} и М1М={х-х1;у-у1;z-z1} коллинеарны:
(6)-канонические уравнения.