Свободная частица

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Свободная частица

Содержание

2. Квантовомеханическое описание Задача: найти и охарактеризовать все состояния, в которых частица может быть обнаружена СОСТОЯНИЕ ВЕКТОР
3. Проблема выбора базиса (базисных состояний) Правило: каждый базисный набор порождается некоторым прибором (спектральным анализатором) Какую наблюдаемую
4. Каждое базисное состояние | i 〉 представляет собой точку на оси Х, а коэффициенты разложения |
5. X P X C P(x) C(x) Вероятностная функция распределения Амплитудная функция распределения («волновая функция») φ =
6. Задача: найти явный вид волновых функций, описывающих все возможные состояния свободной частицы: φ(x, t) = ???
7. Правило: собственные функции всякого оператора образуют базисный набор: Е — энергия стационарного состояния (собственное значение оператора
8. Проверка ( i ⋅ i = – 1 )
9. Пространственный множитель Временно́й множитель (временна́я экспонента) ψ(x) = ??? Вид пространственного множителя зависит от природы (строения)
10. ψ+(х) = е ikx и ψ– (х) = e–ikx ψ(х) = А ⋅ е ikx +
11. Условие нормировки: А2 + В2 = 1 Все в принципе возможные стационарные состояния (с определенным значением
12. Чтобы найти константу k, продифференцируем дважды любое частное решение: d 2 (еikx)/dx2 = –k2(еikx) или d
13. Амплитудная функция Вероятностная функция
14. Пространственные функции распределения Импульсные функции распределения
15. Наблюдаемые Х (координата) и РХ (импульс) связаны между собой соотношением неопределенности Гейзенберга: если величина одной из
16. Суперпозиционные состояния ψ(х) = А ⋅ е ikx + В ⋅ e–ikx
17. φ+ = cos(kx) φ– = i ⋅ sin(kx)
19. Скачать презентацию

Слайд 2

Квантовомеханическое описание
Задача: найти и охарактеризовать все состояния, в которых частица может

быть обнаружена

СОСТОЯНИЕ ВЕКТОР СОСТОЯНИЯ

Координатное представление вектора состояния

| φ 〉 = C1 | 1 〉 + C2 | 2 〉 + … + Cn | n 〉

Базисные состояния

Слайд 3

Проблема выбора базиса (базисных состояний)
Правило: каждый базисный набор порождается некоторым прибором

(спектральным анализатором)

Какую наблюдаемую свободной частицы можно реально измерить с помощью спектрального анализатора?

А = координата Х = Xi (положение частицы на пространственной оси Х)

Слайд 4

Каждое базисное состояние | i 〉 представляет собой точку на оси

Х, а коэффициенты разложения

| φ 〉 = ( C1 C2 … Cn )

являются амплитудами вероятности обнаружения частицы детектором, размещенным в данной точке:

| Ci |2 = P ( X = Xi )

Слайд 5

X
P
X
C
P(x)
C(x)
Вероятностная функция распределения
Амплитудная функция распределения
(«волновая функция»)
φ = C ( x )

= ???

Слайд 6

Задача: найти явный вид волновых функций, описывающих все возможные состояния свободной

частицы:
φ(x, t) = ???

Уравнение Шредингера

 — постоянная Планка ( = 1,055 ⋅ 10–34 Дж⋅с )
i — мнимая единица
H — оператор Гамильтона (гамильтониан)

Стационарные волновые функции ψ(x, t)

Н ψ(x, t) = Е ⋅ ψ(x, t)

( уравнение на собственные значения для оператора H )

Слайд 7

Правило: собственные функции всякого оператора образуют базисный набор:
Е — энергия стационарного

состояния (собственное значение оператора Гамильтона)

ω — частота стационарного состояния (энергия, выраженная в единицах  )

ϕ(x, t) = D1 ⋅ ψ1 + D2 ⋅ ψ2 + . . . + Dr ⋅ ψr

Слайд 8

Проверка
( i ⋅ i = – 1 )

Слайд 9

Пространственный множитель
Временно́й множитель
(временна́я экспонента)
ψ(x) = ???
Вид пространственного множителя зависит от

природы (строения) объекта

Н ψ(x) = Е ⋅ ψ(x)

Правило: пространственные множители волновых функций стационарных состояний — собственные функции оператора Гамильтона

Слайд 10

ψ+(х) = е ikx и ψ– (х) = e–ikx
ψ(х) = А

⋅ е ikx + В ⋅ e–ikx

Частные решения:

Общее решение:

А и В — произвольные числа

Слайд 11

Условие нормировки: А2 + В2 = 1
Все в принципе возможные стационарные

состояния (с определенным значением энергии) образуют двумерную линейную оболочку базисных состояний
ψ+ и ψ–

ψ(х) = А ⋅ е ikx + В ⋅ e–ikx = А ⋅ ψ+ + В ⋅ ψ–

Слайд 12

Чтобы найти константу k, продифференцируем дважды любое частное решение:
d 2

(еikx)/dx2 = –k2(еikx) или d 2 [ψ(х)]/dx2 = –k2 [ψ(х)]

Р — квантовомеханический «импульс»

Слайд 13

Амплитудная функция
Вероятностная функция

Слайд 14

Пространственные функции распределения
Импульсные функции распределения

Слайд 15

Наблюдаемые Х (координата) и РХ (импульс) связаны между собой соотношением неопределенности

Гейзенберга:
если величина одной из них известна точно
РХ = + | PX | или РХ = – | PX |
то величина второй становится неопределенной:
Х = ???
(при измерении Х может быть обнаружено с равной вероятностью любое допустимое значение Xi )

Слайд 16

Суперпозиционные состояния
ψ(х) = А ⋅ е ikx + В ⋅ e–ikx

Слайд 17

φ+ = cos(kx)
φ– = i ⋅ sin(kx)