Матрицы

= ∑ aii

2. Определитель (детерминант)

Метод разложения по элементам строки (столбца)

1) выбрать в матрице некоторую строку (обычно выбирается та строка, которая содержит наибольшее количество нулей);

2) записать первый элемент выбранной строки и умножить его на вспомогательную матрицу (минор), которая получается из исходной посредством вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит выписанный элемент;

— индексы элемента выделенной строки.

1), в результате чего каждый из них превратится в линейную комбинацию определителей размерностью (n – 2).
Систематически повторяя процедуру, мы, в конце концов, придем к длинной линейной комбинации определителей с размерностью 1, т.е. обычных чисел.
Для завершения процедуры нужно выполнить все перемножения, сложения и вычитания,что даст в итоге единственное число — определитель матрицы А.

– 4 ⋅ (3 ⋅ 5 – 7 ⋅ 4) + 8 ⋅ (3 ⋅ 1 – 5 ⋅ 4)

= 2 ⋅ (25 – 7) – 4 ⋅ (15 – 28) + 8 ⋅ (3 – 20) =
= 2 ⋅ (18) – 4 ⋅ (–13) + 8 ⋅ (–17) = 36 + 52 – 136 = – 48

Det A = –48

3. Перманент (плюс-определитель)

Метод вычисления тот же самый, что и для определителя, но вместо дополнительного множителя (–1)i+j используется множитель (+1)i+j

+ 4 ⋅ (3 ⋅ 5 + 7 ⋅ 4) + 8 ⋅ (3 ⋅ 1 + 5 ⋅ 4)

= 2 ⋅ (25 + 7) + 4 ⋅ (15 + 28) + 8 ⋅ (3 + 20) =
= 2 ⋅ (32) + 4 ⋅ (43) + 8 ⋅ (23) = 64 + 172 + 184 = 420

Per A = 420

на число

α ⋅ А = D

3. Линейные комбинации

α ⋅ А + β ⋅ В + γ ⋅ С + … = F

Е

Если матрица В «особенная» (Det В = 0), то обратной ей матрицы не существует

Алгебраическое дополнение элемента Вji

Элемент обратной матрицы

= –2
(В12)–1 = –2/–2 = +1
(В21)–1 = –3/–2 = +1,5
(В22)–1 = +1/–2 = –0,5

Det B = –2

Проверка: В • В–1 = Е

матрицы

Аналоги симметричных матриц

Аналоги ортогональных матриц

может быть изображен в виде квадратной матрицы

Единичный оператор

Оператор растяжения

Оператор проектирования на ось Z

найти коммутатор.

1) найти матричные представления операций F1 и F2;
2) найти произведения: F1 • F2 и F2 • F1;
3) найти коммутатор: С = F1 • F2 – F2 • F1

внутри подпространства.

C2Z

2-мерное инвариантное подпространство
(любой вектор, лежащий в плоскости XY, при действии оператора останется лежащим в этой плоскости)

XY ⊕ Z

Трехмерное пространство XYZ — прямая сумма двумерного подпространства XY и одномерного подпространства Z

= α ⋅ А

Собственный вектор (инвариантное подпространство)

Собственное значение

Уравнение на собственные значения

Спектр оператора

n — размерность пространства

F12 ⋅ а2 + . . . + F1n ⋅ аn = α ⋅ a1
F21 ⋅ а1 + F22 ⋅ а2 + . . . + F2n ⋅ аn = α ⋅ a2
. . . . . . . . . . . . . .
Fn1 ⋅ а1 + Fn2 ⋅ а2 + . . . + Fnn ⋅ аn = α ⋅ an

. . + F1n ⋅ аn = 0
F21 ⋅ а1 + (F22 – α) ⋅ а2 + . . . + F2n ⋅ аn = 0
. . . . . . . . . . . . . .
Fn1 ⋅ а1 + Fn2 ⋅ а2 + . . . + (Fnn – α) ⋅ аn = 0

Однородная система линейных уравнений

Условие разрешимости: Det = 0

+ . . . + С1 ⋅ α + Co = 0

Характеристическое уравнение

Основная теорема алгебры:
всякое уравнение степени n имеет n корней

Корни: { α1 α2 … αn } — собственные значения оператора F

(F11 – α) ⋅ а1 + F12 ⋅ а2 + . . . + F1n ⋅ аn = 0
F21 ⋅ а1 + (F22 – α) ⋅ а2 + . . . + F2n ⋅ аn = 0
. . . . . . . . . . . . . .
Fn1 ⋅ а1 + Fn2 ⋅ а2 + . . . + (Fnn – α) ⋅ аn = 0

– α) + 2 ⋅ 2 ⋅ 4 + 4 ⋅ 2 ⋅ 2 –
– 4 ⋅ (0 – α) ⋅ 4 – 2 ⋅ 2 ⋅ (3 – α) – (3 – α) ⋅ 2 ⋅ 2 =
= – 9α + 6α2 – α3 + 16 + 16 +16α – 12 + 4α – 12 + 4α =
= – α3 + 6α2 + 15α + 8 = 0

Корни: { α1 = 8 α2 = –1 α3 = –1 }

= 0 или x = z
Подставим этот результат во второе уравнение и получим:
4х – 8у = 0 или у = х/2
Теперь мы можем выразить все три координаты вектора через одну, например, через х:
х = х у = х/2 z = x

Решение:

0
2 x + 1 y + 2 z = 0
4 x + 2 y + 4 z = 0

Видно, что все три уравнения одинаковы и задают только одно соотношение между тремя неизвестными. Поэтому мы можем произвольно выбрать значения двух неизвестных, а третье уже выразить через эти два.

Уравнение 2x + 1y + 2z = 0 определяет некоторую плоскость (двумерное инвариантное подпространство) в трехмерном пространстве. Любой вектор, лежащий на этой плоскости является решением нашей системы и, следовательно, будет собственным для нашего оператора.

Экономный способ задать все эти векторы заключается в выборе базиса — двух ортогональных векторов на плоскости.

и у = 1. Тогда из уравнения плоскости
2x + 1y + 2z = 0
следует, что z = –1/2.

Второй базисный вектор должен удовлетворять как уравнению плоскости (2x + 1y + 2z = 0), так и условию ортогональности:

Решая совместно эти два уравнения, получим: у = –2/5 х и z = –4/5 х.

(+8) ⋅

А (а1) = α1 ⋅ а1

базис» оператора.

Матрица оператора в собственном базисе имеет квазидиагональный вид

Все собственные значения невырожденны