Свойства линейных дискретных фильтров

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием устойчивости ЛДФ, является выполнение условия.

(1)

Здесь C - некоторая константа.

Теперь мы посмотрим на проблему устойчивости линейного фильтра с другой точки зрения. Для выяснения устойчивости ЛДФ мы обратимся к передаточной функции H(z).

(2)

Надо выяснить, при каких значениях параметра a фильтр будет устойчив.
Мы нашли передаточную функцию это фильтра.

(3)

(4)

(5)

Здесь ω - это циклическая частота ω = 2πf, а Δt – шаг дискретизации. Таким образом, чтобы найти частотную характеристику фильтра, надо в переходной функции сделать замену.

(6)

Поэтому передаточная функция и импульсная характеристика связаны друг с другом Z - преобразованием.

(7)

Заменяя в сумме (7) комплексную переменную z с помощью замены (6), получаем формулу для нахождения частотной характеристики фильтра.

(9)

(10)

Затем спектр дискретного сигнала находят по формуле

(11)

Здесь F - частота Найквиста.

(12)

(13)

Используя это условие, нижний предел суммирования в формуле (9) для частотной характеристики можно формально отодвинуть до - ∞ (минус бесконечности). Кроме того, в этой сумме заменим шаг дискретизации через частоту Найквиста по формуле (12). В результате получим.

(14)

(15)

Так как частотная характеристика является спектром дискретного сигнала, то все свойства спектра дискретного сигнала, применимы к частотной характеристики ЛДФ.

Кроме того, для вычисления частотной характеристики можно использовать дискретное преобразование Фурье ДПФ, и, в частности, быстрое преобразование Фурье БПФ.

(16)

Другими словами, всегда существует такое число M , что для любого номера m большего M все элементы импульсной характеристики h(m) равны нулю.

Фильтры с конечной импульсной характеристикой будем называть КИХ - фильтрами (английский термин – finite impulse response, FIR).

Другими словами, какое бы большое число M мы не взяли, обязательно найдется такой номер m , для которого элемент импульсной характеристики h(m) будет отличен от нуля.
Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой будем называть БИХ - фильтрами (английский термин – infinite impulse response, IIR).

На рисунках показаны импульсные характеристики КИХ и БИХ фильтров.

Напомним, что основное разностное уравнение ЛДФ, имеет вид.

Коэффициенты этого уравнения позволяют выразить переходную функцию фильтра с помощью формулы.

(18)

(17)

(19)

Нерекурсивный фильтр – это фильтр без обратных связей. Переходная функция нерекурсивного фильтра имеет вид.

(20)

В результате получим импульсную характеристику.

(21)

(22)

(23)

Формула (23) показывает, что полученная импульсная характеристика имеет конечное число отличных от нуля элементов, поэтому она является конечной импульсной характеристикой.
Значит все нерекурсивные фильтры являются КИХ – фильтрами.

(24)

Из формулы (24) мы видим, что у переходной функции имеется одна особая точка z = 0. Эта особая точка для членов суммы (24) является полюсом порядка m , где m - номер члена в сумме (24). Например, для члена

это будет полюс второго порядка m = 2 .

Пример 2. Нерекурсивный фильтр описывается следующим разностным уравнением.

(25)

(26)

По формуле (24) находим переходную функцию.

(27)

Если хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то фильтр называется рекурсивным фильтром. Рекурсивный фильтр – это фильтр с обратными связями.

На рисунке показана структурная схема этого фильтра.

(30)

(31)

находим переходную функцию рассматриваемого фильтра.

(32)

(34)

Формула (34) показывает, что полученная импульсная характеристика имеет бесконечное число отличных от нуля элементов, поэтому она является бесконечной импульсной характеристикой.
Таким образом, рассматриваемый рекурсивный фильтр является БИХ – фильтром.

Отсюда по теореме 2 следует, что рассматриваемый БИХ - фильтр неустойчив.

(35)

Подставляя коэффициенты (35) в общее разностное уравнение ЛДФ (17) получаем.

(36)

(38)

Переходная функция оказалась константой, равной единице.
Используя теорему вычетов, найдем импульсную характеристику. Сначала рассмотрим функцию f(z).

(37)

(40)

(41)

Мы видим что, рассматриваемый рекурсивный фильтр имеет частотную характеристику, у которой отличен от нуля только один элемент. Поэтому частотная характеристика является конечной импульсной характеристикой.
Таким образом, рассматриваемый рекурсивный фильтр является КИХ – фильтром.

(42)

(44)

Модуль и фазу комплексного коэффициента передачи называют амплитудно-частотной (АЧХ) и фазово-частотной (ФЧХ) характеристиками системы.

(45)

и шириной полосы пропускания.

На рисунке показана АЧХ идеального полосового фильтра.

(46)

Здесь s - комплексное число.

(48)

Комплексный коэффициент передачи фильтра и то передаточная функция H(s) связаны простым соотношением.

(49)

(50)

Здесь k = bm /an - коэффициент усиления, zi – нули функции передачи, pi - полюсы функции передачи. Поэтому для определения свойств аналогового фильтра вместо коэффициентов ai ,bi основного дифференциального уравнения, можно использовать нули и полюса zi , pi функции передачи.

(51)

Здесь ω0 - некоторая заданная частота, называемая частотой среза. Полюсы (51) лежат в комплексной плоскости на окружности радиуса ω0 , потому что для них выполняется условие.

(52)

(53)

Здесь k0 - нормировочный множитель.

Используя связь (49) между передаточной функцией H(s) и комплексным коэффициентом передачи K(ω), находим комплексный коэффициент передачи.

(54)

то АЧХ фильтра Баттерворта будет выражаться формулой.

(55)

Для ФЧХ такой простой формулы как для АЧХ не существует. Поэтому надо брать формулу (54) и по ней находить ФЧХ.

(56)

(57)

На рисунке показано расположение полюсов для фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка в комплексной s - плоскости. Уровень пульсаций в полосе пропускания взят 0.5 дБ. Для простоты частота среза взята раной единице ω0 = 1.