Устойчивость. Формула Эйлера

инерции, μ - коэффициент закрепления.

постоянный коэффициенты зависящие от материала стойки

Значения коэффициентов a и b, МПа

стойки в этом случае должна удовлетворять условию

Для стали Ст. 3 λпр =100
Ст.5 λпр=85
Для чугуна λпр=80
Для древесины λпр=70

в результате комбинации, в различных сочетаниях, простых видов деформаций: растяжения (сжатия), среза, кручения и изгиба.

Сложным называется изгиб, вызванный силами или моментами, расположенными в двух и более плоскостях, проходящих через ось балки. Эти плоскости могут, как совпадать, так и не совпадать с главными плоскостями инерции

В том и другом случаях, наиболее удобным решением является приведение к двум плоским изгибам.
Для этого необходимо:
спроектировать все действующие силы на две главные плоскости;
рассмотреть изгиб в каждой из двух главных плоскостей отдельно;
пользуясь принципом независимости действия сил найти суммарные напряжения или деформации.

В большинстве случаев в опасной точке поперечного сечения бруса касательные напряжения, либо равны нулю, либо весьма малы по сравнению с нормальными напряжениями, поэтому расчеты на прочность при сложном и косом изгибе ведут с учетом только нормальных напряжений.

действующие на балку, расположены в одной плоскости, которая не совпадает не с одной из главных плоскостей инерции.

Для сечений, у которых моменты инерции относительно обеих ортогональных осей одинаковы, косой изгиб не возможен. У этих сечений все оси главные. Это сечения типа круг, труба, квадрат и т.д.

необходимо придерживаться правила, по которому момент, вызывающий деформацию растяжения в первой четверти поперечного сечения считается положительным, тогда знак напряжения определяется знаком координат точки, в которой определяется напряжение.

здесь: MX, MY – составляющие изгибающего момента; M- полный изгибающий момент в сечении; α - угол между осью y и следом плоскости действия полного момента; x и у координаты точки, в которой определяют напряжения; Ix и Iy - моменты инерции поперечного сечения.

Напряжения при сложном изгибе

Условие прочности при косом изгибе

Условие прочности при сложном изгибе

изгибе проходит через центр тяжести сечения с угловым коэффициентом:

Нейтральная линия всегда располагается не в тех четвертях, через которые проходит силовая плоскость. В отличие от плоского изгиба при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к силовой линии.

Силовая плоскость

Нейтральная линия

Условие жесткости при сложном и косом изгибе

Суммарный прогиб происходит в направлении перпендикулярном нейтральной линии сечения.

Направление прогиба

в поперечном сечении бруса одновременно действуют продольная растягивающая или сжимающая сила и изгибающий момент.

Координаты ex и ey точки приложения силы F называются эксцентриситетами этой силы относительно главных осей инерции.

Точка, где приложена внешняя сила F, называется полюсом давления

Полюс давления

Нейтральная линия

проходит через центр тяжести сечения и пересекает координатные оси в точках, принадлежащих квадранту, противоположному тому, в котором находится точка приложения силы.

здесь F- внешняя продольная сила; x и y - координаты точки в которой определяются нормальные напряжения; ex и ey - координаты точки приложения внешней силы (эксцентриситеты); Ix и Iy - моменты инерции сечения относительно главных центральных осей; А- площадь поперечного сечения.

Нормальные напряжения при внецентренном растяжении (сжатии)

сумма произведений площадей элементарных площадок на расстояния от их центра тяжести до соответствующей оси:

Различают следующие характеристики сечений: площадь S, статический момент площади (WX, или WY ), момент инерции площади (IX, или IY), центробежный момент инерции площади (IXY).

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными осями.

Моменты площади фигуры относительно центральных осей равны нулю

Координаты центра тяжести

на квадрат расстояний от их центра тяжести до соответствующей оси.

Центробежным моментом инерции называется сумма произведений площадей элементарных площадок на расстояния от центра тяжести до осей

Полярным моментом инерции называется сумма произведения площадей элементарных площадок на квадрат расстояния от центра тяжести до начала координат

Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей.

Геометрические характеристики плоских сечений