Волновые Пакеты

Re (ψ) = A cos (k0 x – ωt)
Im (ψ) = A sin (k0 x – ωt).
Таким образом, если импульс частицы имеет определенное значение, то она с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства. Иначе говоря, если импульс частицы точно известен, то мы ничего не знаем о ее местонахождении.

не зависит от х и t – частица может быть обнаружена с равной вероятностью в любой точке на оси х (учтено, что еia⋅е−ia = 1). Использование комплексной волновой функции дает равномерное распределение вероятностей по оси х. Из формулы Эйлера

пакет в виде распределения Гаусса: б – зависимость действительной части волновой функции от х; в – зависимость квадрата модуля волновой функции или плотности вероятности от х

определенной области пространства.

Выясним теперь, какие волны следует сопоставлять частицам, наблюдаемым в обычных, классически поставленных опытах. Классические опыты всегда начинаются с того, что мы определяем положение частицы в некоторый момент времени t = 0. Пусть измерение координаты проделано с точностью Δх, т.е. мы однозначно определили, что частица находится между х0 и х0 + Δх. С точки зрения волновой (квантовой) теории это означает, что волновая функция частицы равна нулю во всем пространстве, кроме участка, заключенного между х0 и х0 + Δх, рис. 2.1,а. Ясно, что такая функция не является одной монохроматической волной де Бройля типа

= 0 зависимость волн де Бройля от времени является пока несущественной. Запишем отдельную волну в виде

Изображенная на рисунке 2.1,а ψ-функция может быть представлена по теореме Фурье в виде бесконечной совокупности таких волн в виде интеграла Фурье

, где B = Ae−iωt.

Таким образом, состояние частицы в начальный момент времени определяется, наложением большого числа монохроматических волн, каждая из которых движется со своей скоростью (импульсом).

пакетом. Во всякий другой момент времени положение частицы описывается, грубо говоря, местоположением максимума ψ-функции. Рассмотрим волновую функцию вида:

в момент времени t = 0.
На рис. 2.1,б приведена действительная часть этой волновой функции,

частицы, определенной на интервале Δх (а). Волновой пакет в виде распределения Гаусса: б – зависимость действительной части волновой функции от х; в – зависимость квадрата модуля волновой функции или плотности вероятности от х

х = – σх до х = +σх. Функция ехр(–х2/2σх2) – это известное распределение Гаусса; здесь σх – среднеквадратичное отклонение, которое назовем неопределенностью величины х и обозначим Δх. Локализованная волна называется волновым пакетом. Изображенная на рис. 2.1,б волна естественно не является чисто монохроматической. Волновой пакет можно представить в виде суммы (суперпозиции) плоских монохроматических волн с близкими значениями частот (ω) и волновых векторов (k).

Для иллюстрации рассмотрим волновой пакет в момент времени t = 0 и подберем подходящую суперпозицию монохроматических, волн типа exp(ikx). Для этого требуется найти коэффициенты Bn в выражении

перейдем от суммирования к интегрированию:

Используя тождество

получаем

Заменив k на р/ħ, найдем коэффициент В в импульсном представлении

двух волновых пакетов различной ширины. Отметим, что чем ýже волновой пакет, тем шире распределение по импульсам. Вероятность найти частицу в состоянии с волновой функцией В(k)⋅exp(ikx) пропорциональна квадрату ее амплитуды, вероятность различных значений импульса определяется функцией

Распределение |В(р)|2 является Гауссовым для р, и его можно переписать в виде

волновой пакет (внизу). Ширина волнового пакета (а) вдвое превышает его ширину (б). В обоих случаях заметим, что произведение σхσp одно и то же

Здесь σр – среднеквадратичное отклонение или «неопределенность» величины р. Из двух последних соотношений следует
σp = ħ/2σx, σpσх = ħ/2,

Таким образом, в случае волновой функции в виде распределения Гаусса произведение ширины волнового пакета на ширину функции распределения по импульсам равно ħ/2. В других случаях это произведение может быть больше ħ/2, !!!но оно никогда не будет меньше ħ /2!!!. В общем случае

порознь на Δх или на Δрх, а лишь на их произведение − Δх⋅Δрх.

*) Как будет показано ниже, соотношение Δх⋅Δрх ≥ ħ/2, полученное для гауссова распределения, может быть записано в форме: Δх⋅Δрх ≥ ħ или Δх⋅Δрх ≥ h. Последняя форма записи используется в квантовых статистиках, например, Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна.

Соотношение или принцип неопределенностей утверждает, что если частица локализована в пространстве со среднеквадратичным отклонением Δх, то ее импульс не имеет определенного значения, а характеризуется распределением |В(р)| с «шириной» Δр. Физически это означает, что невозможно одновременно точно определить значения координаты и импульса частицы.

В качестве примера рассмотрим волновой пакет с распределением по импульсам в виде прямоугольника, показанного на рис. 2.3,а:

измеренная на уровне половины максимального значения, и Δр – то же самое для импульса).

Рис. 2.3. Прямоугольное распределение по импульсам (а); б – распределение по координатам, или волновой пакет, соответствующий распределению на (a)

1,39. Следовательно
аΔх = 1,39.
Поскольку a = Δk = Δрх/ħ, то (Δрх/ħ)Δх = 1,39.
Таким образом, Δх∙Δрх = 1,39ħ, т.е.
Δх∙Δрх ≥ ħ

0. Можно попытаться с помощью микроскопа определить положение частицы и тем самым обойти принцип неопределенности. Микроскоп позволит определить положение частицы с точностью до длины волны используемого света, Δх ≈ λ . Но поскольку Δр = 0, то произведение Δ·Δрх также должно быть равно нулю, и принцип неопределенности, казалось бы, нарушится. Но это не так. Мы пользуемся светом, a свет состоит из фотонов с импульсом р = h/λ. Чтобы обнаружить частицу, на ней должен рассеяться или поглотиться по крайней мере один из фотонов пучка света (рис. 2.4), и частице будет передан импульс, достигающий h/λ. Таким образом, в момент наблюдения положения частицы с точностью Δх ≈ λ неопределенность ее импульса Δрх ≥ h/λ. Перемножая неопределенности Δрх и Δх, находим

механики.

Рис. 2.4. Взаимодействие в микроскопе фотонов с частицей приводит к неопределенности ее импульса в момент наблюдения на Δр≥ h/λ

Двойственная корпускулярно-волновая природа микрочастиц накладывает ограничения на точность определения физических величин, характеризующих состояние частицы. Причем эти ограничения никак не связаны с точностью измерений, достижимой в конкретном эксперименте, а имеют принципиальное значение.

определения канонически сопряженных динамических переменных, характеризующих квантовую систему: координата – импульс, действие – угол и т.д. Математически соотношения неопределенностей имеют вид неравенства, например:

Δх∙рх ≥ ħ/2

где Δх и Δрх – неопределенности значений координаты х и сопряжённой ей компоненты рх импульса р (аналогичные соотношения справедливы и для пар других компонент координаты и импульса: y, рy; z, рz). Соотношения неопределенностей были установлены В. Гейзенбергом (W. Heisenberg) в 1927 г.