Модели оптимизации производства и потребления

3.1 Аналитическое решение задачи оптимизации производства

Оптимизация производства при отсутствии ограничений

Рассмотрим аналитическое решение задачи оптимизации производства, полагая, что производственный процесс характеризуется

Чтобы определить, при каких условиях прибыль П является максимальной, найдем экстремум

Пример. Пусть некая фирма имеет производственную функцию
R(K, L) =pY(K, L)=100K1/2L1/3.
Средняя

Решение. Цена труда известна, а цена капитала равна 1/12 ден.ед. в

Если на поведение производителя влияют некие дополнительные внешние факторы, рассмотренную модель

Решение. Рассмотрим для начала налог на прибыль. Для его расчета прибыли

Оптимизация производства при наличии бюджетного ограничения (метод Лагранжа)

Производитель может столкнуться с ситуацией, когда обеспечить набор факторов производства, соответствующий

Обе эти задачи относятся к классу оптимизационных задач нелинейного программирования. Ограничения

3.2 Теория личного потребления и задачи оптимизации.

Определение оптимального набора потребительских товаров

Одним из основных элементов экономической теории является домохозяйство (потребитель) - группа

Предполагается, что между товарами существуют отношения предпочтения. Два набора товаров могут

Функция полезности, позволяющая сравнивать товары между собой, обладает следующими свойствами:
1.

Примеры функций полезности, удовлетворяющих перечисленным требованиям, приведены ниже.

Линии уровня функции полезности (линии, вдоль которых U(x)=const), называются кривыми безразличия.

Пусть I – доход потребителя, p=(p1p2...pn) - цены на рассматриваемые товары.

Задача оптимизации функции полезности при фиксированном бюджетном ограничении
U(x) →max
px≤I
называется задачей

Пример 1:

Пример 2:

Пример 2:

Пример 2:

Пример графического решения задачи оптимизации потребительского выбора на примере двух товаров

Зависимости оптимальных объемов товаров от цен и дохода
x*=x*(p, I)
называют функциями спроса

Сравнительная статика потребления.

Метод сравнительной статики заключается в изучении чувствительности решения задачи рационального ведения

Ниже приведен рисунок, иллюстрирующий это изменение.

Изменение спроса на i товар при изменении цены j-го товара на

Уравнение Слуцкого (полученное Е.Е. Слуцким в 1915 году) позволяет рассчитать изменение

Оба эффекта показаны на рисунке:

Можно доказать, что то компенсированное возрастание цены товара всегда приводит к

Поскольку
то товарами Гиффина могут быть только малоценные товары. Таким образом,

Потребление нормальных ценных товаров возрастает с повышением дохода:

Потребление нормальных малоценных товаров уменьшается при росте дохода.

При снижении цены потребление нормальных товаров возрастает, а при росте -

В отличие от нормальных товаров, спрос на товары Гиффина возрастает с

В зависимости от знака смешанных производных, товары можно разделить на взаимозаменяемые

Рассмотрим такие величины, как эластичность спроса по цене и доходу.
Напомним,

Поскольку и спрос и доход и цены, входящие в уравнения неотрицательны,

Рассмотрим, как связаны между собой эластичность спроса по цене (зависимость спроса

Для спроса на товар j сумма эластичностей по цене равна эластичности

Модель рыночного равновесия

.

.

Пример 3