Содержание
- 2. Динамика - раздел теоретической механики, в котором изучаются движение тел под действием приложенных сил
- 3. Законы динамики.
- 4. 1) І-ый закон Ньютона Если на тело не действуют силы, то оно находится либо в состоянии
- 5. 2) ІІ-ой закон Ньютона Ускорение движения тела пропорционально действующей на него силе
- 6. 3) ІІІ-ий закон Ньютона Каждому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие
- 7. 4) Принцип суперпозиции. Если на тело действует несколько сил, то ускорение движения тела будет пропорционально одной
- 8. Главный вектор системы сил
- 9. Дифференциальные уравнения движения точки.
- 10. Дифференциальные уравнения движения точки в декартовой системе координат.
- 12. ox: oy: oz: F1x +…+ Fnx F1y +…+ Fny F1z +…+ Fnz Проецируем векторное равенство на
- 13. ax = ay = az = Проекции ускорений:
- 14. Σ Fkx Σ Fky Σ Fkz дифференциальные уравнения движения точки в декартовой с. к.
- 15. Дифференциальные уравнения движения точки в осях естественного трехгранника.
- 17. Запишем ІІ-ой закон Ньютона:
- 18. Проецируем это равенство на оси естественного трехгранника:
- 19. 0 - тангенсальная составляющая - нормальная составляющая - т.к. вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости Проекции
- 20. дифференциальные уравнения движения точки в осях естественного трехгранника
- 21. Задачи динамики
- 22. Прямая задача По известной массе, известному закону движения требуется определить результирующую силу, действующую на тело.
- 23. Дано: m x = x(t) y = y(t) z = z(t) Найти: F - ?
- 24. Решение: Fx Fy Fz F = - модуль силы
- 25. Направление задается направляющими косинусами:
- 26. Обратная задача По известной массе, известным силам, известным начальным условиям требуется определить закон движения.
- 28. Для того, чтобы получить закон движения, необходимо дважды проинтегрировать каждое уравнение, используя начальные условия (но не
- 30. Σ Fky mg g Vy , g y - ? Запишем закон движения в проекции на
- 31. Vy = g t g t y = =>
- 32. Динамика системы
- 33. Внешние силы Внутренние силы - силы, действующие на тела данной системы со стороны тел, не входящих
- 34. Главный вектор внутренних сил системы равен нулю. Главный момент внутренних сил системы равен нулю.
- 35. Масса. Центр масс.
- 36. Масса системы М = Центр масс системы - сумма масс тел, входящих в систему. - геометрическая
- 37. Для того, чтобы получить координаты центра масс, надо спроецировать векторное равенство на оси.
- 38. xc = zc = yc =
- 39. Дифференциальные уравнение движения системы
- 42. Теорема об изменении количества движения
- 43. Запишем ІІ-ой закон Ньютона для точки: Получим теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме:
- 44. - количество движения системы - сумма количеств движений точек, входящих в систему Распишем выражение и поменяем
- 45. => - количество движения системы - произведение массы системы и скорости ее центра масс
- 46. Запишем ІІ-ой закон Ньютона для системы точек: Меняя порядок суммирования и дифференцирования получим: Теорема об изменении
- 47. Первая производная по времени от вектора количества движения системы равна главному вектору внешних сил
- 48. Следствия : 1) 2) Если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то тело покоится или
- 49. Fxe Fye Fze
- 50. Теорема о движении центра масс системы
- 51. Эта формула гласит: Центр масс системы движется как материальная точка, к которой приложены все силы, действующие
- 52. Следствия : 1) 2) Внутренними силами нельзя изменить движение центра масс системы. Если главный вектор внешних
- 53. 3) m ac x = Fxe Fye Fze m ac y = m ac z =
- 54. Теорема об изменении момента количества движения
- 55. По ІІ закону ньютона Пусть r - радиус-вектор, определяющий положение точки относительно какой либо системы координат.
- 56. Обозначим: - момент количества движения точки относительно точки О - момент силы F относительно точки О
- 57. Момент количества движения системы определяется как векторная сумма моментов количества движения точек, входящих в систему.
- 58. Момент количества движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (кинетический момент)
- 60. v = ωz·hz v dm = ωz hz dm v dm hz = ωz hz2 dm
- 61. Kz = I = Kz = Iz ·ωz - момент инерции тела относительно оси (осевой момент
- 62. Моменты инерции
- 64. Осевой момент инерции точки Izk = dm·hz2 = dm(x2 + y2) Iz = - для точки
- 65. Полярный момент инерции точки I0k = dm·r 2 = dm(x2 + y2 + z2) I0 =
- 66. Центробежные моменты инерции - произведение массы точки на координаты, стоящие в индексе
- 67. Ixy = Ixz = Iyz = - для тела Ixy = dm·x ·y Ixz = dm·x
- 68. Задача: М - масса l - длина Найти все моменты инерции
- 69. dm = Iz = Ic = Масса кусочка dx : - момент инерции относительно оси z
- 70. Iz = Iz = M R 2
- 71. Теорема об изменении момента количества движения точки = M0e
- 72. Производная по времени от вектора момента количества движения точки равна моменту внешних сил относительно той же
- 73. . . . . . . . . . . . . . . .
- 74. Почленно сложим уравнения системы:
- 75. Следствия : 1) 2) Внутренними силами нельзя изменить момент количества движения системы. Если главный момент внешних
- 76. 3) Mxe Mze Mye Если проекция главного момента внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то
- 77. Дифференциальное уравнение движения твердого тела относительно неподвижной оси
- 78. Mze Mze Mze Kz = Iz ·ωz
- 79. Работа силы
- 80. Прямолинейное перемещение тела.
- 82. Перемещение тела по кривой.
- 83. Если точка перемещается по кривой и сила изменяется, то для того чтобы найти работу силы, произведенную
- 84. Δ S
- 85. Тогда работа , произведенная силой на k-ом участке определится как: Ak = Вся работа на участке
- 86. A1,2 = Элементарная работа: Работа определяется точно криволинейным интегралом:
- 89. Работа силы, постоянной по величине и направлению.
- 91. A1,2 = A1,2 = где: S = M1M2 Тогда работа равна:
- 92. Работа силы тяжести.
- 94. A1,2 = Изменение положения тела по высоте определяется: Тогда работа на участке равна: Если тело опускают
- 95. Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.
- 97. h - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения. Сила F разложена на составляющие:
- 98. Полная работа: Элементарная работа силы Fτe : Работа силы Fbe также равна нулю.
- 99. Если: - работа момента
- 100. Пример Центр тяжести однородного колеса поднимается на высоту h, под действием момента М Найти работу внешних
- 101. H S
- 102. M = const ; т. P - МЦС Работы силы трения и силы реакции опоры равны
- 103. ω = ϕ = Интегрируя, получим:
- 104. Кинетическая энергия
- 105. Кинетическая энергия точки
- 106. Для точки второй закон Ньютона выглядит так:
- 107. d'A T = - Теорема об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме. Заменим отношение дифференциалов
- 108. T = Кинетическая энергия системы определяется как сумма кинетических энергий точек, входящих в систему.
- 109. Кинетическая энергия системы. (Теорема Кёнига)
- 111. 01x1y1z1 - неподвижная система координат Система координат 02x2y2z2 перемещается поступательно.
- 112. Tr = Дифференцируем уравнение по времени. - кинетическая энергия системы относительно подвижной системы координат
- 113. Tr T =
- 114. Дифференцируем повремени:
- 115. T = Tr 0 Совместим начало подвижной системы координат с центром масс системы:
- 116. T = Tr Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс системы и
- 117. Кинетическая энергия твёрдого тела
- 118. При поступательном движении: T = T = T = Кинетическая энергия системы определяется - полупроизведение массы
- 119. При вращательном движении: Tk = vk = ω hk
- 120. Tk = T = Σ mk hk2 = Iz T = Кинетическая энергия системы: - момент
- 121. При плоскопараллельном движении: T = Tr T = кинетическая энергия определяется по формуле Кёнига -
- 122. Пример Дано: r, m-радиус и масса однородного диска. Vc- скорость центра масс диска. Диск катится без
- 124. Теорема об изменении кинетической энергии системы
- 125. Пусть система состоит из n-материальных точек. Делим все силы, действующие на систему, на внешние и внутренние
- 126. dA1e + dA1i dAne + dAni . . . . . . . . . .
- 127. dAe + dAi dT = dAe + dAi - теорема об изменении кинетической энергии системы в
- 128. T - T0 = Ae + Ai Если под действием внешних и внутренних сил системы она
- 129. Изменение кинетической энергии системы при перемещении ее из начального положения в конечное равна сумме работ внешних
- 130. Принцип Даламбера или Принцип кинетостатики
- 131. Для каждой k-ой точки можно записать ІІ-ой закон Ньютона: Система состоит из n-точек. Разделяем силы на
- 132. 0 Тогда: т.е. сумма внешних, внутренних сил системы и силы инерции равна нулю. 0 Сумма главных
- 133. 0 0 К каждой точке системы проведем соответствующий радиус- вектор. Тогда:
- 134. 0 0 M0e - главный момент внешних сил M0i - главный момент внутренних сил M0и -
- 135. Главный момент и главный вектор сил инерции
- 136. 0 m - Теорема о движении центра масс системы Главный вектор сил инерции определяется как произведение
- 137. Вращательное движение.
- 138. M0zи = K0z = I0z· M0zи = – I0z·ε Подставим и получим: В проекции на ось
- 139. Вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр масс тела. 0 M0zи = – I0z·ε M0zи
- 140. Плоскопараллельное движение. Mczи = – Icz·ε В этом случае присутствуют и главный вектор и главный момент
- 141. P r ,I
- 143. Динамические реакции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- 144. = const AB = b
- 145. hc - кратчайшее расстояние от центра масс до оси вращения. Используем принцип Даламбера. Составляем условие равновесия
- 146. Мxe, Мye, Мze - алгебраические суммы проекций моментов внешних сил на оси x,y,z; Мxи, Мyи -
- 147. xA + xB + Fxe + Fxи = 0 zA + Fze + Fzи = 0
- 148. ac = 2 hc Fxи = M 2 hc· cos() = M 2
- 149. x y z Fx Fy Fz Для одной точки mx (Fkи) - момент относительно оси x
- 150. mx (Fkи) = y Fz – z Fy my (Fkи) = z Fx – x Fz
- 151. Mxи = – ( Σ mk y k z k) 2 = Mxи = (
- 152. xA + xB + Fxe + M 2 xc = 0 zA + Fze =
- 153. Iyz = Ixz = 0, Слагаемые, в которых присутствует угловая скорость будут являться динамическими реакциями. Эти
- 154. Аналитическая механика
- 155. Аналитическая механика Методы аналитической механики позволяют рассматривать системы без учета реакций идеальных связей
- 156. Виртуальные (возможные) перемещения
- 157. Классификация связей
- 158. 1) Удерживающие связи (x2–x1)2 + (y2–y1)2 + (z2–z1)2 = l2 Неудерживающие связи (x2–x1)2 + (y2–y1)2 +
- 159. 2) Стационарные связи Нестационарные связи 3) Голономные связи Неголономные связи В уравнении нет зависимости от времени.
- 160. Пример: 0 Неголономная нестационарная неудерживающая связь
- 161. f ( x, y, z, t ) = 0 M0 ( x0, y0, z0 ) x
- 162. f (x0 + x, y0 + y, z0 + z, t ) = = f (x0,
- 163. 0 Учитываем, что первое слагаемое по условию равно нулю. Тогда уравнение справедливо когда сумма 2-го, 3-го,
- 164. 0 т. е. => = 90°
- 166. Виртуальное перемещение - мнимое, происходящее в фиксированный момент времени, малое, не нарушающее уравнения связей с учетом
- 167. Виртуальная работа А = Дадим системе виртуальное перемещение и подсчитаем элементарную работу, произведенную силами на этих
- 168. Идеальные связи 0 Принцип виртуальных перемещений - связи, работа реакций которых на любом виртуальном перемещении равна
- 169. Для того, чтобы система, подчиненная идеальным стационарным удерживающим связям, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы
- 170. Необходимость: 0 , v k = 0 0 0 0 => 0
- 171. Достаточность: 0 0 0 0 =>
- 172. Определить величину силы F, необходимую для равновесия. Решить, используя принцип виртуальных перемещений. Задача.
- 173. h x F – ?
- 174. 0 – F x – Fтр x + M2 g h = 0 h = x
- 175. F = M2 g tg – f (M2 + M2) g F x – Fтр
- 176. Использование принципа виртуальных перемещений для определения реакций связей
- 178. Общее уравнение динамики
- 179. Пусть система, состоящая из n-точек и подчиненная удерживающим голономным идеальным связям, движется. Освобождаемся от связей и
- 180. 0 0 Даем системе виртуальное перемещение. Каждая точка переместится на rk - по определению идеальных связей.
- 181. 0 - общее уравнение динамики. При движении материальной системы, подчиненной идеальным удерживающим голономным связям, сумма работ
- 182. Пример: P, Q, Q, – дано a3 – найти
- 183. O3
- 184. УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА II РОДА ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ: => - s- число степеней свободы
- 185. -
- 186. -ОБОБЩЕННАЯ СИЛА **
- 187. *
- 188. Изменим порядок дифференцирования
- 189. Вносим под знак частной производной
- 192. Изобразить на чертеже все активные силы, действующие на систему. Реакции идеальных связей можно не изображать. Силы
- 193. Вычислить кинетическую энергию системы, выразив ее через обобщенные координаты и скорости Найти обобщенные силы системы Выполнить
- 194. Стержень длиной l и массой m. A и B ползуны Составить уравнения движения стержня, найти его
- 195. Силы – mg Степень свободы – 1 обобщенная координата
- 196. 4) Обобщенные силы Потенциальная энергия
- 198. До множим уравнение
- 200. Интегрируем
- 201. Если в начальный момент времени
- 203. Скачать презентацию