Гравитационные волны (жидкость неограниченной глубины). Звуковые волны

линейных (а благодаря компьютерным технологиям и нелинейных) динамических процессов.
Оптика, акустика, электродинамика (радиофизика) – полностью волновые разделы физики.
Гидромеханика – волны (ударные и акустические) в атмосфере и гидросфере, волны на поверхностях и внутренних границах жидких сред (гравитационные волны, капиллярные волны, внутренние волны, волны в каналах и пр.).
Сфера приложений: метеорология, волнозащита прибрежных сооружений, кораблестроение (волнообразование при движении кораблей), защита от акустического шума, гидролокация.

которых фундаментальную роль играет сила тяжести

Рис. 1

(отсюда название; не путать с
гравитационными волнами
специальной теории
относительности - предсказаны,
обнаружены 2016 г. )

Рис. 2

Возбуждаются: при ударе по
поверхности жидкости, ветровом
воздействии, движении кораблей.
Сила тяжести при вертикальных
отклонениях поверхности жидкости
– возвращающая сила.
Частицы жидкости во впадинах
выдавливаются вверх. Горбы и
впадины аналогичны сжатым и
растянутым пружинам осцилляторов.

им сопутствуют
малые скорости v, позволяющие пренебречь нелинейным членом
в уравнении Эйлера и в силу условия |v|< принять жидкость несжимаемой (ρ=const), а течение
потенциальным (v=∇ϕ).

Основная трудность решения заключается в формулировке граничного условия, поскольку поверхность жидкости не остается фиксированной и испытывает отклонения.

Обратимся с этой целью к уравнению,
которое должно выполняться во всей
области z≤ζ, включая и саму границу.

от координат
не зависит

вида
возмущений (граница с вакуумом). Отсюда имеем граничное условие

Решение уравнения Лапласа ищем в виде

Подстановка ⇒ к ОДУ

что дает

В области решения из-за возмущения границы волной z−ζ<0 и по
требованию ограниченности выбираем положительный знак

известны. Волновое
число k еще подлежит определению.

Преобразованное
граничное условие

Подстановка ϕ в ГУ:

приводит к дисперсионному соотношению

Дисперсионное соотношение дает
недостающее значение k и завершает построение решения

цугов волн

1

2

1

2

1

Групповая скорость

2

скорости v вращается
равномерно, оставаясь неизменным по величине: |v|=const

В лагранжевом представлении (x,z – координаты выделенной частицы)

гравитационной волне описывают
вокруг точек окружности с радиусами, экспоненциально
уменьшающимися с удалением вглубь жидкости. При совершении еще
и равномерного горизонтального перемещения со скоростью волны v
образующаяся при кривая изображает поверхностный
профиль волны.

2. Звуковые волны

Звуковые волны – малые возмущения сжатия. Принципиально
важен учет сжимаемости среды. Уравнения гидродинамики

рассматриваются обычно с учетом адиабатической связи

между участками
среды практически отсутствует

Равновесное состояние и отклонения от равновесия

В отсутствие звуковой волны жидкость характеризуют равновесными
значениями плотности и давления

Под действием звуковой волны возникают отклонения

Зависимость p=p(ρ) разлагают в ряд по этим отклонениям

В линейном приближении по малым отклонениям

смещения частиц жидкости − величина
такого же порядка малости, как

уравнения для давления
(оно обычно измеряется в эксперименте)

плоской звуковой волне, распространяющейся в направлении
вектора n

− координата, отсчитываемая
по направлению распространения
с − скорость распространения
волны (скорость звука)
F − функция, описывающая
волновой профиль

v||n - частицы движутся по направлению
распространения волны, т.е. звуковые волны являются
продольными.

Плоские гармонические волны

k=nk − волновой вектор, ω=kc − частота

экспоненциальная
форма записи

ω

k

0

Спектр звуковых волн в
идеальной жидкости

случае
независимости поля от угловых координат

Цилиндрическая
волна

Шаровая волна

Линейный
пульсирующий
источник

Цилиндрический фронт
волны