Кинематика твердого тела

тела

Вращательное

Движение свободного твердого тела

Сферическое

Простейшие виды движения

1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом

Поступательное

Плоскопараллельное (плоское)

Виды движения твердого тела

совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения, то есть:

Поступательное движение твердого тела

А

Поступательное движение твердого тела не следует путать с прямолинейным движением.

Опр. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

А/

В/

поступательного движения тела.

называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение

Вывод. Поступательное движение твердого тела определяется движением какой-нибудь одной его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематики точки.

Вращательное движение твердого тела
Опр. Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во время движения неподвижными.

тела, называется углом поворота.
Угол ϕ измеряется в радианах, и считается положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Аz) и отрицательным, если по ходу часовой стрелки.

Опр. Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.
Закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси: ϕ = ϕ(t).

вращения тела в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки.

Угловая скорость.

Кинематические характеристики (угловая скорость и угловое ускорение) вращающегося тела
Опр. Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота тела ϕ, называется угловой скоростью ω тела.
Вывод. Угловая скорость ω определяется по формуле
Если вращение происходит против хода часовой стрелки, то ω > 0, если по ходу часовой стрелки, то ω < 0.
(1)
модуль которого равен
Размерность [ω ] = 1/с = с –1.

изменения угловой скорости ω, называется угловым ускорением ε тела.
Размерность [ε] = 1/с2 = с –2.
Опр. Если величины ω и ε имеют одинаковые знаки, то вращение называется ускоренным (модуль ω возрастает), если знаки разные, то замедленным (модуль ω убывает).

в одну сторону (рис. а)), если замедленное, то - в противоположные стороны (рис. б)).

и который направлен вдоль оси вращения тела.
модуль которого равен

если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (ω = const).

В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту - n об/мин.

Связь между ω и n вытекает из закона равномерного вращения и имеет вид: ω = 2 π . n/60 ≈ 0,1 . n.

Вывод. Закон равномерного вращения имеет вид:
ϕ = ϕ0 + ω t .
При ϕ0 = 0 вид: ϕ = ω t или ω =ϕ / t.

равноускоренным, а если разные – равнозамедленным.

Вывод. Закон равнопеременного вращения имеет вид:
ϕ = ϕ0 + ω0 . t +ε . t2/2,

Опр. Вращение тела называется равнопеременным, если угловое ускорение тела остается во все время движения постоянным (ε = const).

Равнопеременное вращение

Закон изменения угловой скорости имеет вид:
ω = ω0 +ε . t.

скорости ω тела на расстояние от этой точки до оси вращения h, то есть:
VМ = ω . СМ = ω . h.

Вектор скорости точки вращающегося тела М направлен по касательной к описываемой точкой окружности в сторону вращения тела или перпендикулярно отрезку, соединяющему ось вращения и точку М.

Опр. Скорость точки вращающегося тела называется линейной (или окружной) скоростью.

Кинематические характеристики точек вращающегося тела

Скорость точек вращающегося тела

направлена по радиусу окружности. Модуль нормального ускорения определяется по формуле аn = V 2/ρ. Или с учетом формулы (1) и принимая во внимание, что ρ = h, получим аn = ω 2 . h.

Свойство линейных скоростей точек вращающегося тела
Скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения, то есть чем дальше точка находится от оси, тем больше ее скорость (поле скоростей точек изображено на рисунке).

Ускорение точек вращающегося тела

Полное ускорение точки
(3)
(4)

значение касательного ускорения находится по формуле

Модуль полного ускорения определится в виде
(5)
(6)

Вывод. Вектор полного ускорения точки вращающего тела определяется по формуле (3), а его модуль по формуле (6). При этом нормальное ускорение определяется по формуле (4) и направлено всегда к центру окружности, а алгебраическое значение касательного ускорения – по формуле (5) и направлено по касательной к траектории точки.

векторов составляющих ускорений

Представление векторов скорости и ускорения точки в виде векторного произведения

Вывод а). Вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки, то есть:

где каждый из составляющих векторов равен векторному произведению:

скорости и ускорения груза С.

1. Выберем систему, движение которой будем рассматривать: грузы А и С; нити 1 и 2; ступенчатый шкив В .

Пример решения задачи на вращательное движение

Решение.

Нить 1 сходит со ступенчатого шкива В в точке S, а верхний конец нити 2 – в точке G.
К нижнему концу нити 2 подвешен груз С. Тело А движется по закону
s = sin(π .t/3) м.

В расчетах принять: RВ1 = r, RВ2 = 2 . r.

А и С, нити 1 и 2 совершают поступательное движение;
шкив В находится во вращательном движении.

VА =

= π /3 cos(π .t/3)|при t=1 = π /6 м/с.

Так как VА > 0, то вектор скорости будет направлен вниз по наклонной плоскость (в сторону возрастания s).

3. Определим скорость и ускорение груза А.

аА =

= - π 2/ 9 sin(π .t/3)|при t=1 = - π 2

/ 18 м/с2.

Так как а А< 0, то вектор ускорения будет направлен в сторону противоположную вектору скорости.

1 находится в поступательном движении то скорости и ускорения всех точек нити равны по величине и направлению, то есть VS = VА и аSτ = аА.

5. Определим скорость и ускорение точки G шкива В.

Так как точка G находится в два раза ближе к оси вращения, чем точка S, то VG = VS /2 = π /12 м/с, а аGτ = аτS/ 2 = -π 2

Направления показано на рисунке.

/ 36 м/с2.

в поступательном движении, то скорости и ускорения всех точек нити равны по величине и направлению, то есть VС = VG и аC = аτG.

Ответ. VС = π /12 м/с, аC = - π 2

/ 36 м/с2.

одного из шкивов имеет скорость VA = 20 см/с.
Скорость точки В другого шкива  в этом случае равна ..

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1)VB = 20см/с 2)VB = 5см/с 3)VB = 40см/с 4)VB =10см/с

Решение основано на том, что при вращательном движении скорости точек тела пропорциональны расстояниям до оси вращения. Чем ближе точка к оси вращения, тем меньше ее скорость. VВ=VA /4=5 cм/с.