Классическая электродинамика. Дополнительные главы физики. Уравнения Максвелла

Июль 24, 2022

Главная
Физика
Классическая электродинамика. Дополнительные главы физики. Уравнения Максвелла

Содержание

2. ВВЕДЕНИЕ Теория электромагнитного поля как раздел курса «Физические основы квантовой электроники». Основное внимание - электромагнитным волнам
3. Уравнения Максвелла в сплошной среде
4. Уравнения Максвелла, интегральная форма S – двумерная поверхность, замкнутая для теоремы Гаусса и открытая для законов
5. Справочные формулы В декартовых координатах В цилиндрических координатах
6. Справочные формулы В сферических координатах
7. Материальные уравнения Соотношения между D, B, E и H В вакууме D = E, B =
8. Упражнения (векторный анализ)
9. Упражнения Вывести из уравнений Максвелла закон Кулона для точечного заряда в вакууме. Проверить выполнение всех уравнений
10. Уравнение непрерывности Закон сохранения электрического заряда
11. «Площади» э.-м. поля Рассматриваем ограниченные в пространстве и времени пакеты поля (с конечной энергией) Интегрируем по
12. Уравнения Максвелла в вакууме (СГС) D = E, B = H, ρ = 0, j =
13. Квантовые ограничения в слабых полях Уравнения Максвелла отвечают континуальному (а не дискретному) описанию. Поэтому для их
14. Квантовые ограничения в сильных полях В уравнениях Максвелла не учитываются вероятность рождения электрон-позитронных пар и эффекты
15. Симметрия уравнений Максвелла в вакууме Равноправность Е и Н в вакууме без зарядов. Равноправность направлений течения
16. Векторная структура уравнений Максвелла ρ – скаляр (плотность эл. заряда) E, D, j – полярные трехмерные
17. Волновое уравнение Немагнитные среды Не все решения волнового уравнения служат решениями уравнений Максвелла, поскольку эти решения
18. Динамика э.-м. поля При заданных материальных соотношениях возможна постановка задачи Коши – по начальным данным определяется
19. Динамика э.-м. поля в вакууме Уравнения Максвелла содержат производные по времени первого порядка. Поэтому задания напряженностей
20. Начальные условия (вакуум) не произвольны. Они должны подчиняться условиям Если это так, то и в последующие
21. Динамика поля (задача Коши)* Поскольку уравнения Максвелла – первого порядка по времени, то начальные условия позволяют
22. Динамика поля*
23. Динамика поля*
24. Задания
25. Эволюционная переменная, пример уравнения Гельмгольца Однородная среда (вакуум), монохроматическое излучение с частотой ω Фиксированная (линейная) поляризация.
26. Задача Коши для уравнения Гельмгольца Рассмотрим пучок монохроматического излучения с преимущественным направлением вдоль оси z Зададим
27. Задача Коши для уравнения Гельмгольца Предел При нулевых (в пределе) начальных данных есть решение, стремящееся при
28. Ковариантная формулировка уравнений Максвелла в вакууме. Тензоры электромагнитного поля Напряженности электрического и магнитного полей не абсолютны
29. Ковариантная формулировка …* Вводим 4-мерное пространство-время с координатами xk, k = 0, 1, 2, 3 Другая
30. 4-векторы Ковариантный 4-вектор (нижние индексы) Контравариантный 4-вектор (верхние индексы) Напряженности электрического и магнитного полей не составляют
31. 4-тензоры ковариантный (нижние индексы) контравариантный (верхние индексы)
32. Тензор электромагнитного поля Антисимметрия
33. Преобразование Лоренца напряженностей э.-м. поля (спец. случай)
34. Ковариантная форма уравнений Максвелла
35. Инварианты
36. Тензор энергии-импульса э.-м. поля Симметрия по индексам ? Символ Кронекера при i = k и 0
37. Задания Найти напряженности электрического и магнитного полей точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью. Проверить инвариантность величин
38. Уравнение распространения фронта электромагнитной волны Ранее мы решали задачу Коши, то есть по начальным данным (при
39. Законы сохранения для э.-м. поля в вакууме Уч. пособие, стр. 17-20
40. Потенциалы поля и волновое уравнение Уч. пособие, стр. 20-22
42. Скачать презентацию

Слайд 2

ВВЕДЕНИЕ
Теория электромагнитного поля как раздел курса «Физические основы квантовой электроники». Основное

внимание - электромагнитным волнам и их оптическому диапазону. Связь теории электромагнитного поля с другими разделами физики. Оптические среды.
Роль электромагнитных волн. Сравнение с акустическими и другими волнами (теория волн). Фотоны – элементарные частицы (а не квазичастицы, как фононы). Эфир и вакуум.
Линейные и нелинейные волны.

Слайд 3

Уравнения Максвелла в сплошной среде

Слайд 4

Уравнения Максвелла, интегральная форма
S – двумерная поверхность, замкнутая для теоремы Гаусса

и открытая для законов Фарадея и Ампера (ее границей является замкнутый контур). – электрический заряд внутри объема V, ограниченного поверхностью S.
– электрический ток, протекающий через поверхность S.

Слайд 5

Справочные формулы
В декартовых координатах
В цилиндрических координатах

Слайд 6

Справочные формулы
В сферических координатах

Слайд 7

Материальные уравнения
Соотношения между D, B, E и H
В вакууме D =

E, B = H
В среде материальные уравнения могут иметь вид нелокальных по времени и пространству и нелинейных соотношений (будут приведены позже).

Слайд 8

Упражнения (векторный анализ)

Слайд 9

Упражнения
Вывести из уравнений Максвелла закон Кулона для точечного заряда в вакууме.

Проверить выполнение всех уравнений Максвелла.
Найти напряженность эл. поля шара с равномерной плотностью заряда.
Найти напряженность эл. поля кольцевого слоя с равномерной плотностью заряда. - дом. задание
Найти распределение плотности заряда, если известно распределение напряженности эл. поля
где А и n – постоянные,
Пояснить физический смысл результата при n = -3.

Слайд 10

Уравнение непрерывности
Закон сохранения электрического заряда

Слайд 11

«Площади» э.-м. поля
Рассматриваем ограниченные в пространстве и времени пакеты поля (с

конечной энергией)

Интегрируем по времени в бесконечных пределах

– «площадь» электрич. поля – безвихревой вектор

Интегрируем по пространству (объему) в бесконечных пределах

– «площадь» магнитного поля – сохраняется

Эти общие (для любого вида материальных уравнений) соотношения полезны для контроля точности моделирования динамики поля.

Слайд 12

Уравнения Максвелла в вакууме (СГС)
D = E, B = H, ρ

= 0, j = 0

Условия применимости:
Инерциальная система отсчета
Гравитационные эффекты
Квантовые ограничения для слабых и сильных полей

Учебное пособие: Н.Н. Розанов. Специальные разделы мат. физики. Ч.I. Электромагнитные волны в вакууме. 2005.

Слайд 13

Квантовые ограничения в слабых полях
Уравнения Максвелла отвечают континуальному (а не
дискретному) описанию.

Поэтому для их справедливости число фотонов в основных модах N должно быть велико: N >> 1. Этот фактор важен при анализе шумов излучения и сжатых состояний электромагнитного поля (квантовая оптика).

Слайд 14

Квантовые ограничения в сильных полях
В уравнениях Максвелла не учитываются вероятность рождения

электрон-позитронных пар и эффекты
поляризации вакуума. Необходимое условие пренебрежения этими эффектами:
(изменение энергии заряда |e| в поле напряженности E на расстоянии равном комптоновской длине волны электрона RC = h /(mc) = 2.4 10^(-10) см должно быть много меньше mc^2 , m – масса электрона, h – постоянная Планка, ħ = h / 2π ). В мощных лазерных установках достигаются напряженности полей, близкие к критическим. Последовательная теория дается квантовой электродинамикой.
Приближенно электромагнитное поле в электрон-позитронном вакууме описывается уравнениями электродинамики сплошных сред. Комптоновская длина волны электрона описывает его «размазанность», при меньших расстояниях классическая теория неприменима.

Слайд 15

Симметрия уравнений Максвелла в вакууме
Равноправность Е и Н в вакууме без

зарядов.
Равноправность направлений течения времени
(в классическом вакууме нет диссипации энергии)

Слайд 16

Векторная структура уравнений Максвелла
ρ – скаляр (плотность эл. заряда)
E, D, j

– полярные трехмерные векторы
H, B – аксиальные трехмерные векторы
При зеркальном отражении направление полярных векторов не меняется, а для аксиальных сменяется противоположным. Ср. с силой Лоренца
Различие полярных и аксиальных векторов существенно для записи нелинейных восприимчивостей.

Слайд 17

Волновое уравнение
Немагнитные среды
Не все решения волнового уравнения служат решениями уравнений Максвелла,

поскольку эти решения могут не удовлетворять уравнению . Фактически это соотношение накладывает ограничения на поляризационную структуру излучения. Таким образом, при исключении из уравнений Максвелла магнитных величин к волновому уравнению следует добавить уравнение

Слайд 18

Динамика э.-м. поля
При заданных материальных соотношениях возможна постановка задачи Коши –

по начальным данным определяется последующие значения полей.
Динамических уравнений два (содержащих временную производную 1-го порядка; частотной дисперсией здесь пренебрегаем). Два «статических» уравнения ограничивают вид начальных условий.
Пример – вакуум без зарядов ( )

Слайд 19

Динамика э.-м. поля в вакууме
Уравнения Максвелла содержат производные по времени первого

порядка. Поэтому задания напряженностей Е и Н в начальный момент времени достаточно для определения дальнейшей динамики поля (+ граничные условия).

Метод численного расчета: FDTD – finite-difference time-domain. – тема для итоговой презентации

Слайд 20

Начальные условия (вакуум)
не произвольны. Они должны подчиняться условиям
Если это так, то

и в последующие моменты времени значения

останутся нулевыми, так как {div rot V = 0}

Из-за уравнений Максвелла с div произвольно можно задавать только по две компоненты векторов Е0 и Н0, эти уравнения определяют вид третьих компонент. Например, пусть заданы
Тогда (f – произвольная функция своих аргументов)

Слайд 21

Динамика поля (задача Коши)*
Поскольку уравнения Максвелла – первого порядка по времени,

то начальные условия позволяют определить значения напряженностей электрического и магнитного полей в последующие моменты времени.
Разложения Тейлора для малых интервалов времени:

Слайд 22

Динамика поля*

Слайд 23

Динамика поля*

Слайд 24

Задания

Слайд 25

Эволюционная переменная, пример уравнения Гельмгольца
Однородная среда (вакуум), монохроматическое излучение с частотой

Фиксированная (линейная) поляризация. Одна из компонент поля f (пример Адамара)

Слайд 26

Задача Коши для уравнения Гельмгольца
Рассмотрим пучок монохроматического излучения с преимущественным направлением

вдоль оси z

Зададим при z = 0 значения f и

Решение уравнения Гельмгольца
(разделение переменных)

Слайд 27

Задача Коши для уравнения Гельмгольца
Предел
При нулевых (в пределе) начальных данных есть

решение, стремящееся при конечных z к бесконечности. Но при таких начальных данных есть и нулевое решение.
Нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.
Постановка задачи некорректна.
Физ. смысл – встречные волны.

При конечных z

Слайд 28

Ковариантная формулировка уравнений Максвелла в вакууме. Тензоры электромагнитного поля
Напряженности электрического и магнитного

полей не абсолютны и имеют разную величину в различных инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью V.
Задача – показать релятивистскую инвариантность уравнений Максвелла и найти преобразования Лоренца для электромагнитного поля.
Форма записи уравнения будет релятивистски инвариантной, если оно записано в терминах скаляров, 4-векторов и тензоров, для которых известны преобразования Лоренца.

Слайд 29

Ковариантная формулировка …*
Вводим 4-мерное пространство-время с координатами xk, k = 0,

1, 2, 3

Другая инерционная система координат
Преобразование Лоренца в частном случае , когда скорость V имеет только x-компоненту

Слайд 30

4-векторы
Ковариантный 4-вектор (нижние индексы)
Контравариантный 4-вектор (верхние индексы)
Напряженности электрического и магнитного полей

не составляют 4-вектора.

Слайд 31

4-тензоры
ковариантный (нижние индексы)
контравариантный (верхние индексы)

Слайд 32

Тензор электромагнитного поля
Антисимметрия

Слайд 33

Преобразование Лоренца напряженностей э.-м. поля (спец. случай)

Слайд 34

Ковариантная форма уравнений Максвелла

Слайд 35

Инварианты

Слайд 36

Тензор энергии-импульса э.-м. поля
Симметрия по индексам ?
Символ Кронекера при i =

k и 0 в противном случае.
- плотность э.-м. энергии, - плотность потока энергии.
Тензор энергии-импульса (поля и среды) служит источником искривления пространства-времени в уравнениях тяготения Эйнштейна.

Слайд 37

Задания
Найти напряженности электрического и магнитного полей точечного заряда, движущегося с постоянной

скоростью.
Проверить инвариантность величин и (E,H).
Проверить, что ковариантная запись уравнений Максвелла приводит к стандартной записи при различном выборе индексов.
- это все дом. задания

Слайд 38

Уравнение распространения фронта электромагнитной волны
Ранее мы решали задачу Коши, то есть

по начальным данным
(при t = 0) о напряженностях поля определяли последующую
динамику поля. Это возможно, так как уравнения Максвелла в вакууме содержат только первые временные производные напряженностей. Более общая постановка задачи динамики:
Уч. пособие, стр. 13-17

Слайд 39

Законы сохранения для э.-м. поля в вакууме
Уч. пособие, стр. 17-20

Слайд 40

Классическая электродинамика. Дополнительные главы физики. Уравнения Максвелла

Содержание

ВВЕДЕНИЕТеория электромагнитного поля как раздел курса «Физические основы квантовой электроники». Основное

Уравнения Максвелла в сплошной среде

Уравнения Максвелла, интегральная формаS – двумерная поверхность, замкнутая для теоремы Гаусса

Справочные формулыВ декартовых координатахВ цилиндрических координатах

Справочные формулыВ сферических координатах

Материальные уравненияСоотношения между D, B, E и HВ вакууме D =

Упражнения (векторный анализ)

УпражненияВывести из уравнений Максвелла закон Кулона для точечного заряда в вакууме.

Уравнение непрерывностиЗакон сохранения электрического заряда

«Площади» э.-м. поляРассматриваем ограниченные в пространстве и времени пакеты поля (с

Уравнения Максвелла в вакууме (СГС)D = E, B = H, ρ

Квантовые ограничения в слабых поляхУравнения Максвелла отвечают континуальному (а недискретному) описанию.

Квантовые ограничения в сильных поляхВ уравнениях Максвелла не учитываются вероятность рождения

Симметрия уравнений Максвелла в вакуумеРавноправность Е и Н в вакууме без

Векторная структура уравнений Максвеллаρ – скаляр (плотность эл. заряда)E, D, j

Волновое уравнениеНемагнитные средыНе все решения волнового уравнения служат решениями уравнений Максвелла,

Динамика э.-м. поляПри заданных материальных соотношениях возможна постановка задачи Коши –

Динамика э.-м. поля в вакуумеУравнения Максвелла содержат производные по времени первого

Начальные условия (вакуум)не произвольны. Они должны подчиняться условиямЕсли это так, то

Динамика поля (задача Коши)*Поскольку уравнения Максвелла – первого порядка по времени,

Динамика поля*

Динамика поля*

Задания

Эволюционная переменная, пример уравнения ГельмгольцаОднородная среда (вакуум), монохроматическое излучение с частотой

Задача Коши для уравнения ГельмгольцаРассмотрим пучок монохроматического излучения с преимущественным направлением

Задача Коши для уравнения ГельмгольцаПределПри нулевых (в пределе) начальных данных есть

Ковариантная формулировка уравнений Максвелла в вакууме. Тензоры электромагнитного поляНапряженности электрического и магнитного

Ковариантная формулировка …*Вводим 4-мерное пространство-время с координатами xk, k = 0,

4-векторыКовариантный 4-вектор (нижние индексы)Контравариантный 4-вектор (верхние индексы)Напряженности электрического и магнитного полей

4-тензорыковариантный (нижние индексы)контравариантный (верхние индексы)

Тензор электромагнитного поляАнтисимметрия

Преобразование Лоренца напряженностей э.-м. поля (спец. случай)

Ковариантная форма уравнений Максвелла

Инварианты

Тензор энергии-импульса э.-м. поляСимметрия по индексам ?Символ Кронекера при i =

ЗаданияНайти напряженности электрического и магнитного полей точечного заряда, движущегося с постоянной

Уравнение распространения фронта электромагнитной волныРанее мы решали задачу Коши, то есть

Законы сохранения для э.-м. поля в вакуумеУч. пособие, стр. 17-20

Потенциалы поля и волновое уравнение Уч. пособие, стр. 20-22

Похожие презентации

ВВЕДЕНИЕ
Теория электромагнитного поля как раздел курса «Физические основы квантовой электроники». Основное

Уравнения Максвелла, интегральная форма
S – двумерная поверхность, замкнутая для теоремы Гаусса

Справочные формулы
В декартовых координатах
В цилиндрических координатах

Справочные формулы
В сферических координатах

Материальные уравнения
Соотношения между D, B, E и H
В вакууме D =

Упражнения
Вывести из уравнений Максвелла закон Кулона для точечного заряда в вакууме.

Уравнение непрерывности
Закон сохранения электрического заряда

«Площади» э.-м. поля
Рассматриваем ограниченные в пространстве и времени пакеты поля (с

Уравнения Максвелла в вакууме (СГС)
D = E, B = H, ρ

Квантовые ограничения в слабых полях
Уравнения Максвелла отвечают континуальному (а не
дискретному) описанию.

Квантовые ограничения в сильных полях
В уравнениях Максвелла не учитываются вероятность рождения

Симметрия уравнений Максвелла в вакууме
Равноправность Е и Н в вакууме без

Векторная структура уравнений Максвелла
ρ – скаляр (плотность эл. заряда)
E, D, j

Волновое уравнение
Немагнитные среды
Не все решения волнового уравнения служат решениями уравнений Максвелла,

Динамика э.-м. поля
При заданных материальных соотношениях возможна постановка задачи Коши –

Динамика э.-м. поля в вакууме
Уравнения Максвелла содержат производные по времени первого

Начальные условия (вакуум)
не произвольны. Они должны подчиняться условиям
Если это так, то

Динамика поля (задача Коши)*
Поскольку уравнения Максвелла – первого порядка по времени,

Эволюционная переменная, пример уравнения Гельмгольца
Однородная среда (вакуум), монохроматическое излучение с частотой

Задача Коши для уравнения Гельмгольца
Рассмотрим пучок монохроматического излучения с преимущественным направлением

Задача Коши для уравнения Гельмгольца
Предел
При нулевых (в пределе) начальных данных есть

Ковариантная формулировка уравнений Максвелла в вакууме. Тензоры электромагнитного поля
Напряженности электрического и магнитного

Ковариантная формулировка …*
Вводим 4-мерное пространство-время с координатами xk, k = 0,

4-векторы
Ковариантный 4-вектор (нижние индексы)
Контравариантный 4-вектор (верхние индексы)
Напряженности электрического и магнитного полей

4-тензоры
ковариантный (нижние индексы)
контравариантный (верхние индексы)

Тензор электромагнитного поля
Антисимметрия

Тензор энергии-импульса э.-м. поля
Симметрия по индексам ?
Символ Кронекера при i =

Задания
Найти напряженности электрического и магнитного полей точечного заряда, движущегося с постоянной

Уравнение распространения фронта электромагнитной волны
Ранее мы решали задачу Коши, то есть

Законы сохранения для э.-м. поля в вакууме
Уч. пособие, стр. 17-20