Квантовая статистика

ξ2 ⇒ Функция ψ(ξ1,ξ2), не меняется при перестановке ,т.е. не меняются физические свойства системы.
⇒ |ψ(ξ1,ξ2)|2 = |ψ(ξ2,ξ1)|2

Возможны два случая: симметричная ψ – функция
ψ(ξ1,ξ2) = ψ(ξ2,ξ1),
и антисимметричная ψ – функция ψ(ξ1,ξ2) = – ψ(ξ2,ξ1).

находятся в квантовых состояниях поодиночке (принцип Паули). Подчиняются статистике Ферми – Дирака и называются фермионами.

Частицы с целым и нулевым спином могут находиться в пределах одной системы в неограниченном количестве. Подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна, называются бозонами, описываются симметричной функцией.

Квантовая статистика

согласно принципу Паули. Для бозонов вероятность рождения в состоянии, где уже есть n бозонов, пропорциональна n (бозоны любят накапливаться).

Идеальный ферми-газ и идеальный бозе-газ. Количество частиц – N, количество фазовых ячеек Z, число способов, которыми можно распределить N частиц по Z ячейкам – Ω. Ω – статистический вес системы. Задача – его определить, найти Ω(N,Z). Если N = Z, то фермионы распределяются только одним способом: по одной частице в ячейку.

Квантовая статистика

энергетический уровень, образуя конденсат Бозе-Эйнштейна

Фермионы согласно принципу Паули на одном уровне могут находиться не более двух частиц с разнонаправленными спинами.

по разным квантовым состояниям.
Рассматривается система невзаимодействующих частиц (идеальный газ, невырожденный). Каждая частица может находиться в состояниях с энергиями: <ε1>, <ε2>, …
Равновесному состоянию системы соответствует среднее число заполнений состояний с соответствующими энергиями: , < n2>, … (дробные).

Фазовое пространство

Задача заключается в нахождении наиболее вероятного распределения частиц по ячейкам.

z, px, py, pz –,.

Состояние частицы с координатами xi, yi, zi, и импульсами pxi, pyi, pzi –обозначается в этом пространстве точкой. Но из принципа неопределенности:
ΔxΔpx∙ΔyΔ py∙ΔzΔpz = ħ3
⇒ возможно только определить ячейку, объемом ħ3 в фазовом пространстве, в которую попадает частица.

Z!, перестановки местами частиц N! и пустых ячеек (Z – N)! ничего не меняют. ⇒

Для бозонов считаем все возможные перестановки частиц и перегородок ⇒ (N + Z – 1)!, ничего не меняют перестановки между собой частиц и между собой перегородок ⇒

Квантовая статистика

px, py, pz).

По аналогии с уравнением поверхности в трехмерном пространстве: f(x, y, z) = const ,Гиперповерхность в фазовом пространстве, все точки которой соответствуют одной и той же энергии частицы.
Между двумя близкими поверхностями f(x, y, z, px, py, pz) = εi и f(x, y, z, px, py, pz) = εi + Δεi образуется тонкий энергетический слой. Все пространство разбивается на такие слои. В пределы тонкого слоя попадает Zi ячеек и Ni частиц. ⇒

Квантовая статистика

по ячейкам, т.е. найти максимум этого выражения при условиях: ΣN i = N и Σ εiN i =E.

То же самое: искать максимум энтропии: S = klnΩ. ⇒

Квантовая статистика

фермионов:

Для бозонов:

Квантовая статистика

статистика

знаменателе можно пренебречь, ⇒ оба распределения переходят в распределение Больцмана.

и энергия частицы, с точностью до аддитивной постоянной.
Для фермионов при абсолютном нуле μ может быть только положительной величиной (иначе = 0).
Химический потенциал для бозонов, наоборот, не может быть положительным (некоторые заполнения будут отрицательными). Более того, если число частиц переменное и ΣNi ≠ N ⇒ μ = 0
для бозе-газа с переменным числом частиц

Квантовая статистика

не возмущают друг друга. ⇒ равновесное излучение в полости можно представить как идеальный фотонный газ.

Число фотонов не является заданной константой, т.к. стенки полости поглощают и испускают фотоны. ⇒ распределение их описывается формулой:

εi= ħωi

Энергия фотона

т.к. в каждой ячейке два
состояния фотона
с разной поляризацией. ⇒

Фотонный газ и формула Планка

Энергия фотона не зависит от координат и от направления движения, ⇒ изоэнергетическая поверхность представляет сферу в пространстве импульсов. ⇒ объем тонкого энергетического слоя:
ΔVμ = V∙4πp2dp

формула Планка

Совпадает с формулой Планка.

фононный газ.

ним применяется распределение Бозе – Эйнштейна

(Три вида поляризации)

⇒ Формула Дебая.

Фононный газ и формула Дебая

его проводимость, ⇒ электроны проводимости. Они ведут себя подобно молекулам идеального газа, ⇒ электронный газ = идеальный ферми – газ.

Электронный газ в металлах

Дирака. Электроны обладают одной и той же энергией в двух состояниях, различающихся спином. ⇒ Среднее число на уровне с энергией εi:

параметр μ обозначен εF (энергия Ферми).

Электронный газ в металлах

Металлический образец представляет собой для электронов трехмерную потенциальную яму, ⇒ квантование энергии.

2 если εi< εF

= 0 если εi> εF

⇒ при T = 0 εF = εmax,

Электронный газ в металлах

kT.

Определение: Уровень Ферми – это энергия, при которой функция распределения Ферми – Дирака f = ½.

Теплоемкость электронного газа

при εi= εF ; = ½ независимо от T.

изоэнергетическая поверхность εi= εF в k – пространстве имеет форму сферы:

При T = 0 отделяет состояния, заполненные электронами, от незаполненных.

Электронный газ в металлах

поверхность Ферми

число состояний

Электронный газ в металлах

nV, где n – концентрация свободных электронов,

N = Σ Zi

т.к. Δεi<< εi ⇒

⇒

Для концентрации n = 5∙1028м–3 εF = 5 эВ. ⇒

температура Ферми TF = 6∙104 К

Электронный газ в металлах

соответствует 2.5∙104 К

Уровень ферми слабо зависит от температуры, при kT<< εF

Электронный газ в металлах

от классического.
T << TF ⇒вырожденный,
T >> TF не вырожденный.

Электронный газ в металлах

1/40 эВ, то возбуждается только малая часть электронов вблизи уровня Ферми. Основная часть, размещенная в глубоких слоях, остается в прежних состояниях и поглощать энергию при нагревании не будет. ⇒ Малая теплоемкость электронного газа в металлах.

1

0

газа Cэл = CклT/TF ~ 1%.

Теплоемкость электронного газа