Квазікласичне наближення для рівняння Дірака зі скалярно-векторним зв’язком кулонівського типу

Сентябрь 15, 2022

Главная
Физика
Квазікласичне наближення для рівняння Дірака зі скалярно-векторним зв’язком кулонівського типу

Содержание

2. (1) Задача про опис руху релятивістської частинки спіну ½ в ефективному полі, що складається з статичного
3. Отримаємо формули квазікласичного наближення для рівняння Дірака: переходимо до системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку для
4. Тут в явному вигляді відновлено залежність від сталої Планка ћ і використовуються наступні нові позначення: будемо
5. отримаємо нескінчену систему рекурентних рівнянь для невідомих скалярних і векторних функцій: Власні значення будуть коренями характеристичного
6. Далі треба сказати, що підбираючи множники і , розв’язок можна отримати у вигляді ефективний потенціал (ЕП)
7. Рис. 1. Вигляд ефективного потенціалу U(r, E) бар’єрного типу; , – корені рівняння І. В класично
8. ІІ. В підбар’єрній області ІІІ. В «зовнішній» класично дозволеній області
9. (40) (42) Практична частина В цих позначеннях умова квантування (35) має вигляд:
10. де
11. Після спрощення це дає рівняння для визначення власних значень енергії: Проаналізуємо результати, які випливають із (55)
12. Ця формула показує, що рівняння Дірака зі скалярним зв’язком при має дві симетрично розташовані(відносно нульового рівня
13. ВИСНОВКИ 1.Побудовано рекурентну схема знаходження ВКБ-розкладів для розв’язання рівняння Дірака в зовнішньому центрально-симетричному полі зі скалярно-векторною
15. Скачать презентацию

Слайд 2

(1)
Задача про опис руху релятивістської частинки спіну ½ в ефективному

полі, що складається з статичного скалярного і електричного зовнішніх полів, зводиться в нашій постановці до розв’язання рівняння Дірака зі змішаним скалярно-векторним зв’язком

Тут

– стандартні матриці Дірака,

– оператор імпульсу,

– повна енергія і маса спокою частинки,

– скалярний

а потенціал

лоренц-потенціал,

є нульовою компонентою 4-вектора

Слайд 3

Отримаємо формули квазікласичного наближення для рівняння Дірака:
переходимо до системи звичайних

диференціальних рівнянь першого порядку для радіальних хвильових функцій F і G.

Слайд 4

Тут в явному вигляді відновлено залежність від сталої Планка ћ і

використовуються наступні нові позначення:

будемо шукати розв’язок системи (5) у вигляді асимптотичного ряду за степенями ћ:

Систему (3) можна звести до рівняння другого порядку

Слайд 5

отримаємо нескінчену систему рекурентних рівнянь для невідомих скалярних і векторних функцій:

Власні значення

будуть коренями характеристичного рівняння

Тоді відповідно праві власні вектори

в покомпонентній формі запису рівні:

Слайд 6

Далі треба сказати, що підбираючи множники і , розв’язок можна отримати

у вигляді

ефективний потенціал (ЕП) для радіального руху:

Слайд 7

Рис. 1. Вигляд ефективного потенціалу U(r, E) бар’єрного типу;
,

– корені рівняння

І. В класично дозволеній області

Слайд 8

ІІ. В підбар’єрній області
ІІІ. В «зовнішній» класично дозволеній області

Слайд 9

(40)
(42)
Практична частина
В цих позначеннях умова квантування (35) має

вигляд:

Слайд 10

де

Слайд 11

Після спрощення це дає рівняння для визначення власних значень енергії:
Проаналізуємо

результати, які випливають із (55) в деяких найбільш важливих випадках.
А. Розглянемо спочатку положення, коли зовнішнє електростатичне поле вимкнено (

таким чином, вираз для дискретних рівнів

енергії

(55) приймає вигляд:

де тепер

Слайд 12

Ця формула показує, що рівняння Дірака зі скалярним зв’язком при

має дві симетрично розташовані(відносно

нульового рівня

Б. Розглянемо тепер, що відбувається, коли виключено зовнішнє скалярне поле.
Поклавши в (55)

= 0, отримаємо відому формулу Зоммерфельда для для
тонкої структури рівнів водневоподібного атома:

Z – заряд ядра,

а α – стала тонкої

структури.

вітки енергетичного спектру масивних ферміонів у відповідності з двома можливими значеннями квадратного

кореня (56). Додатній знак кореня у

у формулі (56) відповідає спектру енергії

частинок, а від’ємний – спектру енергії

енергії античастинок, які взятої зі знаком мінус.

Слайд 13

ВИСНОВКИ
1.Побудовано рекурентну схема знаходження ВКБ-розкладів для розв’язання рівняння Дірака в зовнішньому

центрально-симетричному полі зі скалярно-векторною лоренцовою структурою потенціалів взаємодії.
2.Отримано квазікласичні формули для радіальних функцій в класично дозволеній та забороненій областях, знайдено умови їх зшивання при переході через точки повороту.
3.Проведено узагальнення правила квантування Бора-Зоммерфельда у релятивістському випадку, коли частинка зі спіном ½ взаємодіє зі скалярним і електростатичним зовнішніми полями одночасно. В квазікласичному наближенні отримано загальні вирази для ширини квазістаціонарних рівнів, відоме раніше лише для електростатичних потенціалів бар’єрного типу (формула Гамова).
4.Отримане правило квантування застосовано до скалярного і векторного потенціалів кулонівського типу, що дозволило розрахувати енергетичний спектр частинки в такому полі. Формула для енергії співпадає з результатом, отриманим точним інтегруванням системи радіальних рівнянь Дірака.