Метод векторной диаграммы. Сложение гармонических колебаний. Биения

в виде векторов на плоскости - векторная диаграмма.

Закон изменения координаты проекции со временем:

помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью х угол, равный начальной фазе колебания.

и одинаковой частоты:

Определим вид и параметры результирующего колебания. Воспользуемся методом векторной диаграммы.

диаграммы позволяет свести сложение нескольких гармонических колебаний одной частоты к операции сложения векторов.

Из анализа выражения для амплитуды:

не будет определять гармоническое колебание. Его величина и скорость вращения будут меняться со временем.

Квадрат результирующей амплитуды такого колебания будет выражаться уравнением вида

Сумма гармонических колебаний одного направления с разными частотами не является гармоническим колебанием.

направления мало различаются по частоте. Результирующее движение - гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой - биения.

Биения

Имеются два колебания, различающиеся только частотами:

Результат сложения колебаний:

сложения однонаправленных колебаний.

Сложение разнонаправленных колебаний - более сложный случай.

Пример: на управляющие вертикальные и горизонтальные пластины осциллографа поданы периодические гармонические сигналы.

Пусть начальная фаза первого колебания равна нулю. Уравнения колебаний:

уравнения траектории результирующего колебания из уравнений исключается t.

После преобразований:

Анализ:

зависимостей.

Первое уравнение - прямая 1 – 2. второе уравнение – прямая 3 – 4.

1

4

3

2

б) Пусть разность фаз будет произвольной.

Уравнение траектории:

Это уравнение эллипса.

Вывод: точка, участвующая в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с одинаковой частотой, движется по эллиптической траектории.

определяются соотношением амплитуд и разностью фаз исходных колебаний.

Это каноническое уравнение эллипса

Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний.

взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы, то траектория результирующего движения может иметь вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

Уравнения колебаний имеют вид:

Результирующее колебание показано на рисунке.

Траектория вырождается в незамкнутую кривую, по которой точка движется туда и обратно. Это одна из простейших фигур Лиссажу.

приводящие к диссипации энергии. Это, например, силы трения. Происходит затухание (изменение амплитуды) колебаний.

Рассмотрим законы изменения параметров свободных затухающих колебаний.

Свободные затухающие колебания – это такие свободные колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем.

затухающим колебаниям неприменимо понятие периода или частоты.

Но: при малом затухании можно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами или минимумами колеблющейся физической величины.

Выражение для периода:

Логарифмический декремент затухания.

называется декремент затухания.

Логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом затухания