Содержание
- 2. 5.5. Волновое уравнение. Типы и характеристики волн. 5.6. Электромагнитные волны. 5.7. Энергия и импульс электромагнитной волны.
- 3. 5.5. Волновое уравнение. Типы и характеристики волн. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волновым процессом или
- 4. В случае, когда волновая функция зависит только от одной пространственной координаты (скажем, х), вдоль направления которой
- 5. Угловая частота ω связана с периодом волны Т: . Волновое число k связано с длиной волны
- 6. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. От волновой поверхности следует отличать волновой
- 7. В общем случае решение волнового уравнения представляет собой суперпозицию двух волн (скалярных или векторных), распространяющихся в
- 8. 5.6. Электромагнитные волны. Из уравнений Максвелла следует, что если возбудить с помощью зарядов переменное электрическое или
- 9. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х, перпендикулярной к волновым поверхностям. В этом случае, очевидно,
- 10. Из последней формулы вытекает, в частности, что отношение Em к Hm для электромагнитной волны, распространяющейся в
- 11. 5.7. Энергия и импульс электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга. Распространение электромагнитной волны сопровождается переносом энергии и импульса
- 12. Величина w – плотность энергии электромагнитного поля, переносимой волной: она слагается из плотности энергии электрического и
- 13. 5.8. Упругие волны в твердых телах. Аналогия с электромагнитными волнами. Законы распространения упругих волн в твердых
- 14. Полученное уравнение является основным для всей теории упругих волн в твердых телах, и носит название уравнения
- 15. Как и электромагнитные волны, упругие волны переносят энергию и импульс. Перенос энергии в упругой волне осуществляется
- 16. 5.9. Стоячие волны. При наложении двух встречных волн с одинаковой амплитудой возникают стоячие волны. Возникновение стоячих
- 17. Рассмотрим две плоские монохроматические волны, распространяющиеся навстречу друг другу. Уравнения волн имеют вид: , . Складывая
- 18. В точках с координатами амплитуда колебаний максимальна и равна 2a. Эти точки называются пучностями стоячей волны.
- 19. 5.10. Эффект Допплера. При движении источника и(или) приемника звуковых волн относительно среды, в которой распространяется звук,
- 21. Скачать презентацию
5.5. Волновое уравнение. Типы и характеристики волн.
5.6. Электромагнитные волны.
5.7. Энергия и
5.5. Волновое уравнение. Типы и характеристики волн.
5.6. Электромагнитные волны.
5.7. Энергия и
5.8. Упругие волны в твердых телах. Аналогия с электромагнитными волнами.
5.9. Стоячие волны.
5.10. Эффект Допплера.
5.5. Волновое уравнение. Типы и характеристики волн.
Процесс распространения колебаний в пространстве
5.5. Волновое уравнение. Типы и характеристики волн.
Процесс распространения колебаний в пространстве
Волны бывают скалярные (давление в звуковой волне, плотность заряда в плазме) и векторные (упругие волны в кристаллах, электромагнитные волны). Если направление колебаний в волне совпадает с направлением ее распространения, то такая волна называется продольной; если колебания происходят в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны – поперечной. Направление колебаний определяет поляризацию волны.
Волновое уравнение, описывающее скалярную волну ξ =ξ(x,y,z,t), имеет вид:
,
где – оператор Лапласа.
В случае, когда волновая функция зависит только от одной пространственной координаты
В случае, когда волновая функция зависит только от одной пространственной координаты
.
Постоянная а называется амплитудой волны, она показывает максимальное значение колеблющейся величины. Выражение, стоящее в скобках под знаком косинуса, называется фазой волны; ω – угловая частота; k – волновое число.
Из приведенного выражения видно, что в каждой данной точке пространства х = х0 колебания происходят по гармоническому закону:
ξ(t) = a cos(ωt + φ), φ = α – kx0 .
Волна, в которой колебания происходят по гармоническому закону, называется монохроматической.
Скорость распространения волны , входящая в волновое уравнение, есть скорость перемещения в пространстве фиксированного значения фазы волны, в связи с чем ее называют фазовой скоростью. Эту скорость легко определить, взяв дифференциал от произвольного постоянного значения фазы ωt – kx+ α = const. После чего находим:
Угловая частота ω связана с периодом волны Т:
.
Волновое число k связано
Угловая частота ω связана с периодом волны Т:
.
Волновое число k связано
.
Используя эти соотношения, можем cвязать фазовую скорость волны с ее длиной λ и периодом Т:
Отсюда следует, что длина волны – это расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.
x,t
T
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. От
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. От
Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства внутри волновой зоны. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными, волновой фронт все время перемещается в пространстве со скоростью, равной фазовой скорости волны υ.
Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости, цилиндра или сферы. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, в цилиндрической волне – систему коаксиальных цилиндров, в сферической волне – систему концентрических сфер. Уравнения перечисленных типов волн имеют соответственно вид: - плоская волна;
- цилиндрическая волна;
- сферическая волна,
где - радиус-вектор произвольной точки волновой поверхности; - волновой вектор, - единичный вектор волновой нормали, совпадающей с направлением вектора фазовой скорости .
Видим, что амплитуда цилиндрической волны убывает с расстоянием как , а сферической – как 1/r.
В общем случае решение волнового уравнения представляет собой суперпозицию двух волн
В общем случае решение волнового уравнения представляет собой суперпозицию двух волн
,
где f1 и f2 – произвольные функции.
5.6. Электромагнитные волны.
Из уравнений Максвелла следует, что если возбудить с помощью
5.6. Электромагнитные волны.
Из уравнений Максвелла следует, что если возбудить с помощью
, .
Фазовая скорость электромагнитной волны v определяется по формуле:
.
Для вакуума (ε = μ = 1) по этой формуле получается:
.
Таким образом, в вакууме фазовая скорость электромагнитной волны совпадает со скоростью света. В среде с постоянными проницаемостями ε и μ
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х, перпендикулярной к волновым
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х, перпендикулярной к волновым
, .
Простейшими решениями этих уравнений являются функции
Ey(x,t) = Em cos(ωt - kx);
Hz(x,t) = Hm cos(ωt - kx),
совместность которых обеспечивается условиями, вытекающими из уравнений Максвелла
kEm = μμ0ωHm ,
εε0ωEm = kHm .
Отсюда следует, что колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой, а амплитуды этих векторов связаны между собой соотношением:
.
Из последней формулы вытекает, в частности, что отношение Em к Hm
Из последней формулы вытекает, в частности, что отношение Em к Hm
.
В векторном виде уравнения плоской электромагнитной волны записываются как:
,
.
На рисунке показана мгновенная картина плоской электромагнитной волны в данный момент времени t.
Как видно из рисунка, векторы и (на рисунке ) образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему, то есть электромагнитная волна является поперечной. В фиксированной точке пространства электромагнитное поле в волне изменяется по гармоническому закону.
5.7. Энергия и импульс электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга.
Распространение электромагнитной волны сопровождается
5.7. Энергия и импульс электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга.
Распространение электромагнитной волны сопровождается
.
Используя формулу векторного анализа , а также принимая во внимание материальные уравнения и , преобразуем написанное уравнение к виду:
или ,
где введены обозначения
;
.
Величина w – плотность энергии электромагнитного поля, переносимой волной: она слагается
Величина w – плотность энергии электромагнитного поля, переносимой волной: она слагается
Полученное уравнение выражает собой закон сохранения энергии для электромагнитного поля в дифференциальной форме. Оно показывает, что изменение энергии поля в выделенном объеме пространства за единицу времени происходит за счет потока вектора Пойнтинга через поверхность, охватывающую этот объем. Скорость переноса энергии называется групповой скоростью, она определяется как:
.
Отсюда следует размерность вектора Пойнтинга в СИ: .
Групповая и фазовая скорости волны связаны между собой соотношением де`Бройля (de Broglie L., 1892-1984):
.
В вакууме u = υ = c; в среде , поэтому в среде фазовая скорость электромагнитной волны может превышать скорость света в вакууме.
Наряду с энергией, электромагнитная волна переносит импульс поля. Плотность импульса электромагнитного поля связана с вектором Пойнтинга соотношением:
.
Из факта существования у электромагнитной волны импульса следует, что при ее падении на некоторую поверхность она будет оказывать давление на эту поверхность. Величина давления определяется по формуле:
,
где r – коэффициент отражения; - среднее значение плотности энергии волны.
5.8. Упругие волны в твердых телах. Аналогия с электромагнитными волнами.
Законы распространения
5.8. Упругие волны в твердых телах. Аналогия с электромагнитными волнами.
Законы распространения
,
где ρ – плотность среды; ui – компоненты вектора упругого смещения; σik = ciklmεlm – тензор напряжений; - тензор деформации; ciklm – тензор упругих модулей.
Отсюда следует, что вектор упругого смещения удовлетворяет волновому уравнению вида:
.
Если искать решение этого уравнения в виде плоской монохроматической волны
,
то ему можно придать вид:
,
где - тензор приведенных упругих модулей; - единичный вектор волновой нормали; c = ω/k – фазовая скорость упругой волны.
Полученное уравнение является основным для всей теории упругих волн в твердых
Полученное уравнение является основным для всей теории упругих волн в твердых
Изотропные твердые тела характеризуются только двумя упругими модулями – модулем Юнга E и модулем сдвига G. В таких телах две из трех упругих волн всегда являются чисто поперечными и имеют одинаковую фазовую скорость ct; третья волна является чисто продольной и имеет свою фазовую скорость cl > ct. В данном случае исходное волновое уравнение распадается на два независимых волновых уравнения для двух поперечных волн и одной продольной волны :
; ,
где - фазовая скорость поперечной волны; - фазовая скорость продольной волны.
Как и электромагнитные волны, упругие волны переносят энергию и импульс. Перенос
Как и электромагнитные волны, упругие волны переносят энергию и импульс. Перенос
,
где
-
плотность энергии упругой волны, которая слагается из кинетической энергии колеблющихся частиц среды и потенциальной энергии упругой деформации;
-
компоненты вектора Умова (Умов Н.А., 1846-1915).
Альтернативный подход к описанию закономерностей распространения упругих волн в кристаллах основан на представлении первичного волнового уравнения второго порядка системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка от вектора смещения. При этом уравнения для поперечных компонент вектора смещения оказываются полностью аналогичными уравнениям Максвелла для электромагнитного поля в вакууме, а для продольных компонент – аналогичными уравнениям плазменных колебаний. Соответствующие уравнения записываются в виде:
для поперечных компонент для продольных компонент
Преимуществом данного
подхода является то, что он
открывает возможность
исследования упругих волновых процессов в
кристаллах на основе математического аппарата, разработанного в электродинамике сплошных сред.
5.9. Стоячие волны.
При наложении двух встречных волн с одинаковой амплитудой возникают
5.9. Стоячие волны.
При наложении двух встречных волн с одинаковой амплитудой возникают
Образование стоячей волны.
Стоячие волны бывают продольные (колебания стержней, звуковые волны в резонаторе музыкального инструмента) и поперечные (колебания закрепленной на концах натянутой струны, капиллярные волны на поверхности жидкости).
Рассмотрим две плоские монохроматические волны, распространяющиеся навстречу друг другу. Уравнения волн
Рассмотрим две плоские монохроматические волны, распространяющиеся навстречу друг другу. Уравнения волн
,
.
Складывая эти уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получим:
.
Заменив в этом выражении волновое число k его значением , придадим ему следующий вид:
,
где - амплитуда колебаний.
Написанное уравнение – есть уравнение стоячей волны. Из него видно, что в стоячей волне колебания в каждой точке происходят с той же частотой ω, что и у налагающихся волн. При этом амплитуда колебаний зависит от координаты точки х.
В точках с координатами амплитуда колебаний максимальна и равна 2a. Эти
В точках с координатами амплитуда колебаний максимальна и равна 2a. Эти
В точках с координатами амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки называют узлами стоячей волны.
Расстояние между соседними пучностями (узлами) составляет λ/2. Сами пучности и узлы сдвинуты относительно друг друга на четверть длины волны. Фазы колебаний по разные стороны от узла отличаются на π, то есть точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе, а все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе.
Отметим, что в стоячей волне дважды за период колебаний происходит переход кинетической энергии от узла (где скорость равна нулю) к пучности (где она максимальна) и обратно. То же происходит и с потенциальной энергией, но в обратной последовательности по отношению к кинетической энергии. В результате средний поток энергии через любое сечение в стоячей волне равен нулю.
5.10. Эффект Допплера.
При движении источника и(или) приемника звуковых волн относительно среды,
5.10. Эффект Допплера.
При движении источника и(или) приемника звуковых волн относительно среды,
Частота звука, воспринимаемая приемником, определяется по формуле:
,
где c – скорость звука в данной среде; υприем и υисточ - соответственно скорость движения приемника и источника звука относительно среды.
Из приведенной формулы видно, если расстояние между приемником и источником увеличивается, воспринимаемая частота звука ν оказывается меньше частоты источника ν0, а если сокращается, то больше.