Операторы

Сентябрь 13, 2022

Главная
Физика
Операторы

Содержание

2. Операторы В квантовой физике многие физические величины могут квантоваться, т.е. в некоторых случаях они принимают лишь
3. Операторы Оператор − это математический символ, определяющий совокупность действий, которые надо провести над заданной функцией U
4. Операторы Самосопряженный линейный оператор должен удовлетворять соотношению: − оператор, комплексно – сопряженный Операторы можно складывать, вычитать
5. Собственное значение оператора В ряде случаев воздействие оператора на некоторую функцию U(x) эквивалентно умножению этой функции
6. Собственное значение оператора В случае линейного дифференциального оператора уравнение является линейным дифференциальным уравнением. Известно, что такое
7. Дискретный спектр собственных значений оператора С примером дискретного спектра встречаемся, решая, например, задачу о движении частицы
8. Дискретный спектр собственных значений оператора при (0 ≤ x В точках x=0; x=a функция ψ обращается
9. Исходя из граничных условий Дискретный спектр собственных значений оператора найдем: A = 0; где n=1, 2,
10. Дискретный спектр собственных значений оператора
11. Гармонический осциллятор Любая система, совершающая гармонические колебания с малой амплитудой вблизи состояния устойчивого равновесия (атом в
12. Гармонический осциллятор Здесь x – отклонение частицы от положения равновесия; - упругая сила, возвращающая ее в
13. в вещественной форме имеет вид: Видим, что в указанных условиях частица совершает около положения равновесия гармонические
14. Гармонический осциллятор Модель гармонического осциллятора применима к любой системе, совершающей гармонические колебания с малой амплитудой вблизи
15. Гармонический осциллятор Полная энергия осциллятора в силовом поле, как отмечалось, равна: где Потенциальная энергия U связана
16. Гармонический осциллятор Интегрируя это соотношение, найдем U: Полагая С=0 (константа интегрирования в каждой конкретной задаче определяется
17. Гармонический осциллятор Состояние гармонического осциллятора с точки зрения квантовой теории характеризуется волновой функцией ψ, удовлетворяющей уравнению
18. Гармонический осциллятор Решение этого уравнения хорошо исследовано. Оно является конечным и однозначным (как отмечалось, волновая функция
19. Гармонический осциллятор Так, энергия гармонического осциллятора, находящегося в поле потенциальных сил, может принимать только дискретные значения
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Операторы
В квантовой физике многие физические величины могут квантоваться, т.е. в некоторых

случаях они принимают лишь дискретные значения. Для математического описания таких величин не пригодны обычные непрерывные функции, используемые в классической теории. Квантовая теория использует более общие математические методы, основой которых являются операторы.

Слайд 3

Операторы
Оператор − это математический символ, определяющий совокупность действий, которые надо провести

над заданной функцией U для получения некоторой другой функции V. В общем случае будем обозначать оператор символом , изображая его действие на некоторую функцию U в виде произведения . В итоге оператор определяется соотношением:

Наибольший практический интерес представляют линейные операторы, удовлетворяющие условию:

C1 и C2 − произвольные постоянные

Слайд 4

Операторы
Самосопряженный линейный оператор должен удовлетворять соотношению:
− оператор, комплексно – сопряженный

Операторы можно складывать, вычитать и перемножать по правилам обычной алгебры. Однако при перемножении нельзя менять порядок сомножителей.

Слайд 5

Собственное значение оператора
В ряде случаев воздействие оператора на некоторую функцию

U(x) эквивалентно умножению этой функции на постоянную L. Эта постоянная и называется собственным значением оператора

функция U(x), удовлетворяющая этому соотношению, называется собственной функцией данного оператора

Слайд 6

Собственное значение оператора
В случае линейного дифференциального оператора уравнение
является линейным

дифференциальным уравнением. Известно, что такое уравнение для заданных граничных условий имеет ненулевые решения лишь при определенных значениях L. Эти постоянные и являются собственными значениями оператора.
Дифференциальный оператор, как правило, имеет множество собственных значений и собственных функций. Совокупность всех собственных значений образует спектр, который может быть как сплошным, так и дискретным.

Слайд 7

Дискретный спектр собственных значений оператора
С примером дискретного спектра встречаемся, решая, например,

задачу о движении частицы между двумя отражающими плоскостями (или о модах планарного оптического волновода).
Пусть частица движется вдоль оси х между плоскостями х=0 и x=a. Полагаем, что потенциальная энергия U частицы при 0

Слайд 8

Дискретный спектр собственных значений оператора
при (0 ≤ x < a)
В

точках x=0; x=a функция ψ обращается в 0 (поскольку стенки − идеально отражающие, то вероятность нахождения на них частицы равна нулю). Решение этого уравнения ищем в виде:

где

Слайд 9

Исходя из граничных условий
Дискретный спектр собственных значений оператора
найдем:
A = 0;
где n=1, 2,

3, … Тогда:

Таким образом, полная энергия частицы в данной задаче может принимать лишь дискретные значения Wn, соответствующие различным значениям n. Эти значения образуют бесконечный ряд дискретных энергетических уровней. При переходе частицы из одного состояния в другое, ее энергия должна меняться скачком, т.е. в данной ситуации имеет место квантование энергии.

Слайд 10

Дискретный спектр собственных значений оператора

Слайд 11

Гармонический осциллятор
Любая система, совершающая гармонические колебания с малой амплитудой вблизи

состояния устойчивого равновесия (атом в молекуле, электрон в атоме, математический маятник и т.д.) представляет собой гармонический осциллятор.

Рассмотрим частицу с массой m, смещенную на некоторое малое расстояние относительно положения устойчивого равновесия. На частицу действует возвращающая упругая сила. Считая, что частица движется вдоль прямой, уравнение ее движения можно записать в виде:

Слайд 12

Гармонический осциллятор
Здесь x – отклонение частицы от положения равновесия;
-

упругая сила, возвращающая ее в это положение;
α – величина, называемая коэффициентом упругости.
Решение уравнения
при α=const:

Слайд 13

в вещественной форме имеет вид:
Видим, что в указанных условиях частица

совершает около положения равновесия гармонические колебания с частотой, определяемой только физическими параметрами m и α:

Гармонический осциллятор

Слайд 14

Гармонический осциллятор
Модель гармонического осциллятора применима к любой системе, совершающей гармонические колебания

с малой амплитудой вблизи состояния устойчивого равновесия (атом в молекуле, электрон в атоме, математический маятник и т.д.).
Покажем, что энергия осциллятора в силовом поле не может принимать любые значения, она оказывается квантованной.

Слайд 15

Гармонический осциллятор
Полная энергия осциллятора в силовом поле, как отмечалось, равна:

где
Потенциальная энергия U связана с действующей на частицу силой F соотношением:
В нашем одномерном случае:

Слайд 16

Гармонический осциллятор
Интегрируя это соотношение, найдем U:
Полагая С=0 (константа интегрирования в каждой

конкретной задаче определяется начальными условиями), получим:
И найдем полную энергию осциллятора

Слайд 17

Гармонический осциллятор
Состояние гармонического осциллятора с точки зрения квантовой теории характеризуется волновой

функцией ψ, удовлетворяющей уравнению Шредингера:

Слайд 18

Гармонический осциллятор
Решение этого уравнения хорошо исследовано. Оно является конечным и однозначным

(как отмечалось, волновая функция должна отвечать таким условиям) на интервале при дискретных значениях постоянной W:
где n = 0, 1, 2,… – любое целое число.

Слайд 19

Гармонический осциллятор
Так, энергия гармонического осциллятора, находящегося в поле потенциальных сил, может

принимать только дискретные значения и при изменении его состояния изменяется скачком на величину, кратную энергии кванта hω.
Наименьшая величина энергии гармонического осциллятора:
Она называется нулевой энергией гармонического осциллятора.

Операторы

Содержание

ОператорыВ квантовой физике многие физические величины могут квантоваться, т.е. в некоторых

ОператорыОператор − это математический символ, определяющий совокупность действий, которые надо провести

ОператорыСамосопряженный линейный оператор должен удовлетворять соотношению: − оператор, комплексно – сопряженный

Собственное значение оператора В ряде случаев воздействие оператора на некоторую функцию

Собственное значение оператораВ случае линейного дифференциального оператора уравнение является линейным

Дискретный спектр собственных значений оператораС примером дискретного спектра встречаемся, решая, например,

Дискретный спектр собственных значений операторапри (0 ≤ x < a) В

Исходя из граничных условий Дискретный спектр собственных значений операторанайдем:A = 0; где n=1, 2,

Дискретный спектр собственных значений оператора

Гармонический осциллятор Любая система, совершающая гармонические колебания с малой амплитудой вблизи

Гармонический осцилляторЗдесь x – отклонение частицы от положения равновесия; -

в вещественной форме имеет вид: Видим, что в указанных условиях частица

Гармонический осцилляторМодель гармонического осциллятора применима к любой системе, совершающей гармонические колебания

Гармонический осцилляторПолная энергия осциллятора в силовом поле, как отмечалось, равна:

Гармонический осцилляторИнтегрируя это соотношение, найдем U:Полагая С=0 (константа интегрирования в каждой

Гармонический осцилляторСостояние гармонического осциллятора с точки зрения квантовой теории характеризуется волновой

Гармонический осцилляторРешение этого уравнения хорошо исследовано. Оно является конечным и однозначным

Гармонический осцилляторТак, энергия гармонического осциллятора, находящегося в поле потенциальных сил, может

Похожие презентации