Приложение: частица в потенциальной яме (ящике) конечной глубины

Август 2, 2022

Главная
Физика
Приложение: частица в потенциальной яме (ящике) конечной глубины

Содержание

2. Одномерная прямоугольная потенциальная яма ("ящик") Бесконечно высоких стенок не бывает ни в природе, ни в технике.
3. Докажем прежде всего одно важное свойство собст-венных функций: собственные функции, принадле-жащие различным собственным значениям, орто-гональны, т.е.,
4. Если m = n, то интеграл не равен 0, и из ус-ловия нормировки можно найти коэф-фициент
5. Для поля, изображенного на рисун-ке, все пространство можно разделить на 3 области I, II, III: (10.9)
6. Подставляя в уравнение Шредингера усло-вие (10.9), получаем для областей I и III одинаковые уравнения: (10.10) а
7. Тогда уравнение (10.10) принимает вид: (10.12) а уравнение (10.11): (10.13) Для области II общее решение уравнения
8. Учтем условие, согласно которому волновая функ-ция не должна обращаться в бесконечность (усло-вие ограниченности). Слева от ямы
9. Итак, мы получили решения уравнения Шредингера для каждой из трех областей. Теперь эти решения надо "сшить"
10. Таким образом, получены 4 уравнения относитель-но 4 неизвестных A, B, C, D. Решить эту систему можно
11. Получили систему из 2-х однородных линейных уравнений для двух неизвестных A и B. Условием существования нетривиального
12. Подставляя первый корень (10.21) в уравнение (10.19), получаем: A = 0. Далее, из уравнений (10.15) -
13. Итак, волновые функции для 1-го корня имеют вид (10.25) где константа C определяется формулой (10.24). От-метим,
14. Из условия нормировки получаем формулу для константы C, совпадающую с формулой (10.24). Таким образом, волновые функции
15. Теперь надо сделать самое главное: определить спектр уровней энергии частицы в потенциальной яме. Для этого надо
16. В "докомпьютерные" времена такие уравнения ре-шали графически следующим образом. Обозна-чим: Умножая обе части уравнения (10.21) на
17. Это уравнение окружности в координатах ξ и η с радиусом Искомые уровни энергии мож- но определить,
19. Выполняя аналогичные прео- бразования для формулы (10.22), получим Соответствующие значения энергии получим, найдя точки пересечения этой
21. В настоящее время подобные уравнения решают численными методами, причем решения получают за долю секунды и с
22. В пределе при U0 → полученные результаты должны совпадать с формулами, найденными выше для ямы с
24. Скачать презентацию

Слайд 2

Одномерная прямоугольная потенциальная яма ("ящик")
Бесконечно высоких стенок не бывает ни в

природе, ни в технике. Поэтому вернемся теперь к перво-начальной постановке задачи: найдем решение уравнения Шредингера для частицы в одномер-ной области, в которой потенциальная энергия имеет вид, изображен-ный на рисунке.

Потенциальная энергия равна нулю на дне ямы ("ящика"), и равна U0 вне стенок "ящика".

Слайд 3

Докажем прежде всего одно важное свойство собст-венных функций: собственные функции, принадле-жащие

различным собственным значениям, орто-гональны, т.е., если m ≠ n, то:
Доказательство: если m ≠ n, то интеграл
равен нулю.

Слайд 4

Если m = n, то интеграл не равен 0, и из

ус-ловия нормировки можно найти коэф-фициент An:
т.е. нормирующий множитель у всех собст-венных функций одинаков. Поэтому
(10.8)

Слайд 5

Для поля, изображенного на рисун-ке, все пространство можно разделить на 3

области I, II, III:
(10.9)
причем E < U0.
Как и раньше, требуется решить одномерное стационарное уравнение Шредингера
(9.6)

Слайд 6

Подставляя в уравнение Шредингера усло-вие (10.9), получаем для областей I и

III одинаковые уравнения:
(10.10)
а для области II (внутри ямы потенциальная энергия U = 0):
(10.11)
Обозначим для краткости

Слайд 7

Тогда уравнение (10.10) принимает вид:
(10.12)
а уравнение (10.11):
(10.13)
Для области II общее

решение уравнения (10.13), как уже говорилось, известно и име-ет вид:
где A и B - неизвестные пока константы.
Общее решение уравнения (10.12) также из-вестно и имеет вид:
где C и D - также неизвестные пока константы.

Слайд 8

Учтем условие, согласно которому волновая функ-ция не должна обращаться в бесконечность

(усло-вие ограниченности). Слева от ямы (в области I) координата x < 0, и уходит в . Справа от ямы (в области III) координата x > 0, и уходит в .
Поэтому в области I должна равняться нулю конс-танта D, а в области III должна обратиться в нуль константа C. Таким образом, волновые функции в первой, второй и третьей областях имеют вид:
(10.14)

Слайд 9

Итак, мы получили решения уравнения Шредингера для каждой из трех областей.

Теперь эти решения надо "сшить" на границах областей так, чтобы бы-ли непрерывны сами функции Ψ, и их первые про-изводные по x. Для левой границы x = -a условие непрерывности функции Ψ имеет вид:
(10.15)
а условие непрерывности производной:
(10.16)
Аналогично для правой границы x = a:
(10.17)
(10.18)

Слайд 10

Таким образом, получены 4 уравнения относитель-но 4 неизвестных A, B, C,

D. Решить эту систему можно различными способами. Например, умно-жим уравнение (10.15) на k1 и вычтем его из урав-нения (10.16), исключая, таким образом, констан-ту С:
(10.19)
Аналогично, умножив уравнение (10.17) на k1 и скла-дывая его с (10.18), исключаем константу D:
(10.20)

Слайд 11

Получили систему из 2-х однородных линейных уравнений для двух неизвестных A

и B. Условием существования нетривиального решения такой системы является равенство нулю ее определите-ля:
Раскрывая скобки и выполняя простые тождествен-ные преобразования, получаем уравнение:
откуда получаем два корня:
k11 = k⋅tgka (10.21)
и k12 = -k⋅ctgka. (10.22)

Слайд 12

Подставляя первый корень (10.21) в уравнение (10.19), получаем: A = 0.

Далее, из уравнений (10.15) - (10.18) находим D = C, и соотношение ме-жду константами B и C:
Далее, запишем условие нормировки:
(10.23)
и найдем из него константу C:
(10.24)

Слайд 13

Итак, волновые функции для 1-го корня имеют вид
(10.25)
где константа C определяется

формулой (10.24). От-метим, что первый корень приводит к четным вол-новым функциям, т.е. Ψ(x) = Ψ(-x).
Далее, выполняя аналогичные вычисления со вто-рым корнем, получаем B = 0, D = -C, и соотношение между константами A и C:

Слайд 14

Из условия нормировки получаем формулу для константы C, совпадающую с формулой

(10.24). Таким образом, волновые функции для 2-го корня имеют вид: Таким образом, волновые функции для 2-го корня имеют вид:
(10.26)
где константа C, как и для 1-го корня, определяет-ся формулой (10.24). Отметим, что второй ко-рень приводит к нечетным волновым функциям, т.е. Ψ(x) = -Ψ(-x).

Слайд 15

Теперь надо сделать самое главное: определить спектр уровней энергии частицы в

потенциальной яме. Для этого надо в формулы (10.21) и (10.22) вместо k и k1 подставить их значения:
(10.27)
(10.28)
Сначала займемся уравнением (10.21). Подставляя в него (10.27) и (10.28), получаем трансцендент-ное уравнение относительно энергии E:

Слайд 16

В "докомпьютерные" времена такие уравнения ре-шали графически следующим образом. Обозна-чим:
Умножая обе

части уравнения (10.21) на a, получа-ем в новых обозначениях:
Далее найдем сумму квадратов величин ξ и η:
(10.29)

Слайд 17

Это уравнение окружности в
координатах ξ и η с радиусом
Искомые уровни энергии

мож-
но определить, найдя точки пе-
ресечения кривой с окружностью указан-
ного радиуса (см. рисунок). На рисунке приведены
окружности для трех значений параметра глубины
ямы U0a2. Первым двум значениям соответствуют
по одной точке пересечения в первом квадранте (ξ
и η - положительные числа), а третьему - две точки
пересечения.

Слайд 18

Слайд 19

Выполняя аналогичные прео-
бразования для формулы
(10.22), получим
Соответствующие значения
энергии получим, найдя точки
пересечения этой

кривой с окружностью (10.29) (см.
рисунок). Как видно из рисунка, для параметра глу-
бины ямы пересечение отсутствует, а
для следующих двух параметров глубины имеется
по одному пересечению. Итак, для трех последова-
тельных значений параметра глубины U0a2 получа-
ем соответственно один, два и три уровня энергии.

Слайд 20

Слайд 21

В настоящее время подобные уравнения решают численными методами, причем решения получают

за долю секунды и с гораздо более высокой точностью. На всех современных языках программиро-вания имеются готовые подпрограммы для решения таких уравнений. Однако графический метод имеет преимущест-во в наглядности.

Слайд 22

В пределе при U0 → полученные результаты должны совпадать с формулами,

найденными выше для ямы с бесконечно высокими стенками. Проверим это. Запишем формулу (10.21) в виде:
При U0 → правая часть этой формулы также стремится к бесконечности. Это означает, что в пределе где n - целое нечетное число.
Подставляя сюда вместо k его значение из форму-лы (10.27), получаем
что для нечетных чисел n совпадает с формулой (10.6).