Упругие волны в твердом теле. Теория упругости

Август 9, 2022

Главная
Физика
Упругие волны в твердом теле. Теория упругости

Содержание

2. Теория упругости: некоторые понятия Механическое напряжение в т.т. – Сила действующая между двумя смежными элементами на
3. Тензор напряжений
4. Тензор напряжений Для любой точки абсолютно упругого тела существует декартовая система координат в которой тензор упругих
5. Смещение и деформация
6. Деформации по направлению осей Нормальные компоненты
7. Деформации сдвига
8. Связь между напряжением и деформацией Изотропное тело E – модуль Юнга μ – коэффициент Пуассона σ
9. Связь между напряжением и деформацией G – модуль сдвига
10. Связь между напряжением и деформацией σ = σn + σt γ = γ n + γ
11. Связь между напряжением и деформацией
12. Связь между напряжением и деформацией В изотропном теле G = E/2(1 + μ)
13. Связь между напряжением и деформацией 81 компонента 21 независимая компонента 11 → 1 12, 21 →
14. Изотропные тела С44= 0,5 (С11 + С12) Волны Тензор пьезоэлектрических постоянных
15. Фононные возбуждения в твердом теле.
16. Квазичастицы Твердое тело сложная система, состоящая из сильно взаимодействующих частиц электронов и ионов. Квантово-механическое описание движения
17. Колебательные свойства кристаллов M·d2 un /dt2 = - f ·( un - un-1) + f ·(
18. Колебательные свойства кристаллов un`=A exp(i(k`an-ωt)) =A exp(i(k an-ωt)) exp(i2πmn) = un k`= k + 2πm/a Квазичастицы
19. Колебательные свойства кристаллов Узлы n заняты ионами с массой M, а узлы n` ионами с массой
20. Колебательные свойства кристаллов M·d2 un /dt2 = - f2 ·( un - un`-1) + f1 ·(
21. Колебательные свойства кристаллов A / B =( f1+ f2· exp(-ika))/(( f2 + f1 ) - Mω2
22. Колебательные свойства кристаллов Введем обозначение 16( f2 f1 /ω04) = 16 { Mm /( M +
23. Колебательные свойства кристаллов ω2 ≈ω0(1 - (γka)2/32) Характер колебаний атомов при k→ 0 un / un’
24. Колебательные свойства кристаллов В окрестности k=0 ω2 = ω0 un / un’ = A / B
25. Колебательные свойства кристаллов ω1(π/a) = (ω0/√2)(1-(1-γ2)1/2) 1/2 ω2(π/a) = (ω0/√2)(1 + (1-γ2)1/2) 1/2 λmin = 2a
26. Увлечение электронов акустическими фононами Смещение иона U=U0·cos(ωt- kx) Деформация dU/dx= U0k·sin(ωt- kx) Появляются области сжатия и
27. Увлечение электронов акустическими фононами в металлах бегущие со скоростью звука «потенц. ямки» в полупроводниках бегущая со
28. Акустоэлектрический эффект Заряды накапливаются на краях полупроводника возникает эл. поле E Поток фононов с энергией ωq
29. Акустоэлектрический эффект Заряды накапливаются на краях полупроводника возникает разность потенциалов Если замкнуть цепь, то пойдет ток
30. Усиление акустических волн Акустическая волна + внешнее электрическое поле
31. Дифракция света на акустических волнах
33. Скачать презентацию

Слайд 2

Теория упругости: некоторые понятия
Механическое напряжение в т.т. – Сила действующая между двумя

смежными элементами на бесконечно малом участке площади σ = d F/d S

σn = dFn /d S σt = dFt /d S
Fn проекция на нормаль к S
Ft проекция на плоскость касательную к S

n = 1,2,3

Слайд 3

Тензор напряжений

Слайд 4

Тензор напряжений
Для любой точки абсолютно упругого тела существует декартовая система координат

в которой тензор упругих напряжений является диагональным.

Слайд 5

Смещение и деформация

Слайд 6

Деформации по направлению осей
Нормальные компоненты

Слайд 7

Деформации сдвига

Слайд 8

Связь между напряжением и деформацией
Изотропное тело
E – модуль Юнга
μ – коэффициент

Пуассона
σ = Eε εn = μ ε

Слайд 9

Связь между напряжением и деформацией
G – модуль сдвига

Слайд 10

Связь между напряжением и деформацией
σ = σn + σt
γ = γ

n + γ t

Слайд 11

Связь между напряжением и деформацией

Слайд 12

Связь между напряжением и деформацией
В изотропном теле G = E/2(1 +

μ)

Слайд 13

Связь между напряжением и деформацией
81 компонента
21 независимая компонента
11 →

1
12, 21 → 6
13, 31 → 5
23, 32 → 4

С1122 → С12
С1123 → С14

Слайд 14

Изотропные тела
С44= 0,5 (С11 + С12)
Волны
Тензор пьезоэлектрических постоянных

Слайд 15

Фононные возбуждения в твердом теле.

Слайд 16

Квазичастицы
Твердое тело сложная система, состоящая из сильно взаимодействующих частиц электронов и

ионов. Квантово-механическое описание движения и энергетических параметров этих взаимодействующих друг с другом частиц представляет значительные трудности из-за огромного количества этих частиц.
Для преодоления сложностей, возникающих при описании большого количества взаимодействующих частиц, была предложена концепция квазичастиц. В основе этой концепции лежит попытка описать твердое тело в виде суммы независимых друг от друга согласованных движений многих (или даже всех) составляющих это тело частиц.

Слайд 17

Колебательные свойства кристаллов
M·d2 un /dt2 = - f ·( un -

un-1) + f ·( un+1 - un)
M·d2 un /dt2 = f ·( un+1 + un-1 - 2 ·un)

u(x,t)=A·exp(i(kx-ωt))

un=A·exp(i(kan-ωt))

-Mω2 = - f ·{2 - exp(-ika) - exp(ika)} = - 2 ·f ·{1- cos(ka)} = 4·f ·sin2(ka/2)

ω2 =4·( f / M) ·sin2(ka/2), -> ω =ωmax ·|sin(ka/2)|

ω max =2·( f / M)1/2

Слайд 18

Колебательные свойства кристаллов
un`=A exp(i(k`an-ωt)) =A exp(i(k an-ωt)) exp(i2πmn) = un
k`=

k + 2πm/a

Квазичастицы фононы

λ = 2π /k

λmin = 2a

λmax = ∞

Слайд 19

Колебательные свойства кристаллов
Узлы n заняты ионами с массой M, а узлы

n` ионами с массой m , так чтобы M > m.
Расстояние между одинаковыми ионами а. Коэффициент квазиупругой силы между ионами находящимися в узлах n и n` f1 , а между ионами n и n`-1 f2.

Слайд 20

Колебательные свойства кристаллов
M·d2 un /dt2 = - f2 ·( un -

un`-1) + f1 ·( un’ - un)
m·d2 un` /dt2 = - f2 ·( un` - un+1) + f1 ·( un - un`)

un = A exp(i(kan - ωt )) un-1 = un exp(-ika) un` = B exp(i(kan - ωt )) un+1 = un exp(ika) un` = (B /A) un

-A · (ω2 - ( f2 + f1 ) / M )= B· ( f1 + f2· exp(-ika))/ M
-B · (ω2 - ( f2 + f1 ) / m )= A · ( f1 + f2· exp(ika))/ m

Слайд 21

Колебательные свойства кристаллов
A / B =( f1+ f2· exp(-ika))/(( f2 +

f1 ) - Mω2 )
=(( f2 + f1 ) - mω2 )/( f1 + f2· exp(ika ))

пусть ω02 = ( f2 + f1 )( M + m)/( Mm)

ω 21,2 = (ω02/2)(1 ±{1 - 16( f2 f1 /ω04 )sin2(ka/2)}1/2

Слайд 22

Колебательные свойства кристаллов
Введем обозначение
16( f2 f1 /ω04) = 16 { Mm

/( M + m)}2 { f2 f1/(f2 + f1 )2} = γ2

ω21 = (ω02/2)(1 - {1 - γ2sin2(ka/2)} 1/2)

ω22 = (ω02/2)(1 + {1 - γ2sin2(ka/2)} 1/2)

-π/a

ω1(0) = 0; акустические фононы
ω1(π/a) = (ω0/√2)(1-(1-γ2)1/2) 1/2

ω2(0) =ω0; оптические фононы
ω2(π/a) = (ω0/√2)(1 + (1-γ2)1/2) 1/2

ω2(0) =ω0 >ω2(π/a) > ω1(π/a) > ω1(0)

Слайд 23

Колебательные свойства кристаллов
ω2 ≈ω0(1 - (γka)2/32)
Характер колебаний
атомов при k→ 0
un

/ un’ = A / B =( f1 + f2· exp(-ika)) /(( f2 +f1 ) - Mω2)

ω1 (0)=0 un / un’ = 1

ω21 = (ω02/2)(1 - {1 - γ2sin2(ka/2)} 1/2)

ω22 = (ω02/2)(1 + {1 - γ2sin2(ka/2)}1/2)

В окрестности k=0

ω1 ≈ 0,25ω0γka ≈ k

Слайд 24

Колебательные свойства кристаллов
В окрестности k=0
ω2 = ω0
un / un’ = A

/ B =( f1 + f2· exp(-ika)) /(( f2 +f1 ) - Mω2)

un / un’ =(f1 + f2) /((f2 +f1 )- Mω02) =
(f1 + f2) /((f2 +f1 )- (f2 +f1 )( M + m)/( m)) =
=1/(1 - ( M + m)/ m) = - m/M

un M + un’ m = 0

ω02 = ( f2 + f1 )( M + m)/( Mm)

Слайд 25

Колебательные свойства кристаллов
ω1(π/a) = (ω0/√2)(1-(1-γ2)1/2) 1/2
ω2(π/a) = (ω0/√2)(1 + (1-γ2)1/2)

1/2

λmin = 2a

Слайд 26

Увлечение электронов акустическими фононами
Смещение иона U=U0·cos(ωt- kx)
Деформация dU/dx= U0k·sin(ωt- kx)
Появляются

области сжатия и растяжения
Изменяется плотность заряда

Изменяется распределение потенциала V и потенциальная энергия эл-на. e
W(x) = - eV(x)

Появляется
Электрическое поле
E = -dV/dx

Бегущая эл. волна!!!

Слайд 27

Увлечение электронов акустическими фононами
в металлах
бегущие со скоростью
звука «потенц. ямки»
в

полупроводниках
бегущая со скоростью
звука модуляция Eg

Затухание акустической
волны

Слайд 28

Акустоэлектрический эффект
Заряды накапливаются на краях полупроводника
возникает эл. поле E
Поток фононов

с энергией ωq и импульсом ωq/vзв

Поток энергии W=nq vзв ωq
Поток импульса p=W/ vзв =nq ωq

Электроны получают импульс
γ Wdx / vзв ≡ ne dx

ne dx = eEne dx

E= γ W/ enevзв = γ μW/ σ vзв

Слайд 29

Акустоэлектрический эффект
Заряды накапливаются на краях полупроводника
возникает разность потенциалов
Если замкнуть цепь,

то пойдет ток

Слайд 30

Усиление акустических волн
Акустическая волна + внешнее электрическое поле

Слайд 31

Упругие волны в твердом теле. Теория упругости

Содержание

Теория упругости: некоторые понятияМеханическое напряжение в т.т. – Сила действующая между двумя

Тензор напряжений

Тензор напряженийДля любой точки абсолютно упругого тела существует декартовая система координат

Смещение и деформация

Деформации по направлению осейНормальные компоненты

Деформации сдвига

Связь между напряжением и деформациейИзотропное телоE – модуль Юнгаμ – коэффициент

Связь между напряжением и деформациейG – модуль сдвига

Связь между напряжением и деформациейσ = σn + σtγ = γ

Связь между напряжением и деформацией

Связь между напряжением и деформациейВ изотропном теле G = E/2(1 +

Связь между напряжением и деформацией 81 компонента21 независимая компонента 11 →

Изотропные телаС44= 0,5 (С11 + С12)ВолныТензор пьезоэлектрических постоянных

Фононные возбуждения в твердом теле.

КвазичастицыТвердое тело сложная система, состоящая из сильно взаимодействующих частиц электронов и

Колебательные свойства кристалловM·d2 un /dt2 = - f ·( un -

Колебательные свойства кристалловun`=A exp(i(k`an-ωt)) =A exp(i(k an-ωt)) exp(i2πmn) = un k`=

Колебательные свойства кристалловУзлы n заняты ионами с массой M, а узлы

Колебательные свойства кристалловM·d2 un /dt2 = - f2 ·( un -

Колебательные свойства кристалловA / B =( f1+ f2· exp(-ika))/(( f2 +

Колебательные свойства кристалловВведем обозначение16( f2 f1 /ω04) = 16 { Mm

Колебательные свойства кристалловω2 ≈ω0(1 - (γka)2/32)Характер колебаний атомов при k→ 0un

Колебательные свойства кристалловВ окрестности k=0ω2 = ω0un / un’ = A

Колебательные свойства кристалловω1(π/a) = (ω0/√2)(1-(1-γ2)1/2) 1/2 ω2(π/a) = (ω0/√2)(1 + (1-γ2)1/2)

Увлечение электронов акустическими фононами Смещение иона U=U0·cos(ωt- kx)Деформация dU/dx= U0k·sin(ωt- kx)Появляются

Увлечение электронов акустическими фононами в металлахбегущие со скоростью звука «потенц. ямки»в

Акустоэлектрический эффект Заряды накапливаются на краях полупроводникавозникает эл. поле EПоток фононов

Акустоэлектрический эффект Заряды накапливаются на краях полупроводникавозникает разность потенциаловЕсли замкнуть цепь,

Усиление акустических волн Акустическая волна + внешнее электрическое поле

Дифракция света на акустических волнах

Похожие презентации