Законы Механики Ньютона

и логики
ВАЖНО! Физика начинается там, где появляется возможность использовать математику с предсказательной силой!
Простейший случай, где это удается – описание движения простых тел (МЕХАНИКА).
Движение – изменение положения тела в пространстве
Простейший случай: материальная точка => тело, размерами и ориентацией в пространстве которого в данной задаче можно пренебречь.
Положение материальной точки в пространстве определяется всего тремя числами – координатами.
Чтобы начать строить теорию движения - нужна система координат и умение ей пользоваться.

Что такое Физика? / What is Physics?

понятия не абсолютные, а относительные. Все зависит от того кто и из какой системы отсчета наблюдает.
- это принцип относительности, который был вполне осознан только в XVII веке (Коперник, Галилей, и – в окончательной формулировке - Ньютон
Если наблюдать за движением тела из «правильной» (инерциальной) системы отсчета, и если на тело не действуют никакие реальные физические силы, то такое тело будет двигаться с постоянной по величине и направлению скоростью, либо покоиться. - это т.н. Первый закон механики Ньютона.

Состояние покоя = состояние движения с неизменной нулевой скоростью. Оно ничем физически не отличается от состояния равномерного прямолинейного движения с НЕ нулевой скоростью
Все «правильные» наблюдатели (системы отсчета), движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, физически равноправны. Во всех «правильных» системах отсчета
если нет сил – скорость не меняется, ….
…а если есть сила – скорость меняется. Логично предположить, что чем больше сила – тем быстрее меняется скорость. Это умозаключение, используя понятие производной, выражается формулой
F = mdv/dt

на тело не действуют силы, то скорость его не меняется, а действие сил приводит к изменению скорости (F = mdv/dt ), …
… математики придумали математические инструменты, с помощью которых можно удобно и просто описывать движение материальных тел и решать уравнения, его определяющие. Это
Метод координат (Rene Decartes, 1596-1650)
Дифференциальное и интегральное исчисление (Isaac Newton, 1643-1727; Gottfrid Leibnitz.(1646-1716)

На подступах к настоящей Физике

С этих догадок и изобретений в конце XVII века и начинается физика.
ВОПРОС: а была ли какая-то физика до того?.

в движении.
Закон рычага: F1/F2 = L2/L1
распространение закона рычага на другие механические системы (полиспасты)
Закон Архимеда: потеря веса погруженного в жидкость (газ) тела = вес вытесненной им жидкости (газа)

Архимед Ἀρχιμήδης
287 -212 до н.э., Сиракузы, Сицилия

для объяснения никакой специальной причины) и вынужденные. Естественно:
Тяжелым телам естественно падать вниз
Легким (дым от костра) естественно устремляться вверх
Небесным телам естественно двигаться по окружностям (Луна, Солнце, звезды) или по орбитам = наложениям нескольких круговых движений (планеты).
Все остальные виды движений требуют или постоянного приложения некой вынуждающей силы (ноги движут человека, лошадь тянет телегу, гребцы веслами толкают лодку и т.п.) или – в терминологии ‘физики v.0’ – надо придать телу однократно некоторый «импетус» (например, бросил камень – он летит)

Аристотель Ἀριστοτέλης
384 -322 до н.э.
Македония

или постоянного приложения некой вынуждающей силы (ноги движут человека, лошадь тянет телегу, гребцы веслами толкают лодку и т.п.) или – в терминологии ‘физики v.0’ – надо придать телу однократно некоторый «импетус» (например, бросил камень – он летит)

Величина придаваемого телу импетуса пропорциональна «величине двигателя» и времени его действия, а расходуется импетус на совершение телом некоторого перемещения. также пропорционального величине импетуса, и обратно пропорционального «величине движимого».
В современных обозначениях:
impetus = FΔt = mΔS, или
F = mΔS/Δt = mv

тел

Пожалуй, самым подробно разработанным разделом физики в ее «пробной» версии была опирающаяся
…и на умозрительные представления Аристотеля о естественности круговых движений для «божественных» небесных тел,
… но (в большей степени) на реальные, многовековые астрономические наблюдения за движениями звезд и планет т.н.:

Клавдий Птолемей Κλαύδιος Πτολεμαῖος
~100 - ~170 н.э.
Александрия
Египетская

- окружностям – является естественным (заданным божественной первопричиной) и никаких дополнительных причин для объяснения не требует.
Это вполне согласуется с наблюдениями за движениями по небесному своду звезд , а также (с оговорками) Солнца и Луны

траектория движения по небесному своду планеты Венера).
Во времена Аристотеля – Птолемея знали 5 «петляющих» по небосводу планет, называемых греками по именам богов:
Меркурий
Венера
Марс
Юпитер
Сатурн.
+ 2 не петляющих, но движущихся не так, как звезды
Солнце (эклиптика)
Луна

(круговой орбите)
и по маленькому эпициклу, подобно колесу катящемуся по орбите основной.
Подбирая периоды вращения по дифференту и эпициклу можно объяснить наблюдаемые петли.
Модель Птолемея была математически достаточно совершенна и позволяла рассчитывать положения планет на небесном своде на годы вперед

университетах Европы и стран ислама вплоть до XVIII века!
Все известные европейские и мусульманские мыслители вплоть до XVI века, а многие и позже, придерживались этих моделей.
Перемены начались в XVI-XVII веках .
Побудительные причины, подвигнувшие некоторых европейских ученых задуматься над альтернативными физике Аристотеля-Птолемея моделями поступали из разных областей жизни.

позиционной системы счисления (Индия, Ариабхата и Брахмагупта),
IX век: изобретение способов решения алгебраических уравнений и методов быстрого счета «в столбик», описанных в книге Мохаммеда бен Мусы Ал-Хорезми () “Аль Китаб ал-Джебр аль Мукабала«
XII век: перевод книги Ал-Хорезми и распространение в Европе. С XIII века десятичная позиционная система активно активно используется итальянскими торговцами и банкирами, а некий Лука Пачоли в XV веке создает на ее основе используемую по сегодняшний день систему бухгалтерской записи (с дебетом и кредитом)
XV век: изобретение способа наборного книгопечатания (Johannes zum Gutenberg, ~1400 - ~1470) и распространение знаний о новой арифметики в Европе (~ 1 млн учебников – инкунабул)

(Johannes Gensfleisch zur Laden zum Gutenberg, ~1400 - ~1470)

плавания, достижение европейцами Америки (1492 ) и открытие пути в Индию вокруг Африки. Для путешествий нужны карты и система ориентации в океане..
Герхард Меркатор предлагает карты с угловой координатной сеткой (идея была еще у Птолемея). Координаты точек на поверхности Земли определяются с помощью сферических угловых координат – широты и долготы.
Определить широту можно по высоте Солнца над горизонтом в полдень. Определение долготы требкет точных приборов для измерения времени и/или точных и тонких астрономических наблюдений. Интерес к астрономии в Европе сильно вырос…

Коперник (1473-1543) создает гелиоцентрическую модель системы планет.
В центре - Солнце,
Земля - планета, между Венерой и Марсом.
Луна -“планета 2-го порядка”, спутник Земли.
В новой системе орбиты всех планет - почти точные окружности. Это сильно упрощает астрономические расчеты по сравнению с Птолемеевыми эпициклами.
В предисловии к книге (De revolutionibus orbium coelestium) оговаривается, что новая теория - это удобный метод расчета орбит планет, не более того
Коперник очень умен! Он сознает, что движение и его характер – понятие относительное. Все зависит от того, кто и откуда наблюдает за движением!

(лат.), Nicolaus Koppernigk (нем.))
9.02.1473 - Родился в Торуне (Torun, Torn) 9.02.1473.
1491-93: Учился в Краковском университете
1497-1506 учился в Италии (Болонья, Феррара, Рим, Падуя). Платил его дядя Lucas Witzegenrode,
1506-12: в Кракове, помощник дяди – епископа, врач, преподает в университете.
С 1512 во Фромборке (40 км от нынешнего Калининграда) - каноник в местном костеле и заместитель коменданта крепости по фортификации.

Коперник - администратор, военный, врач, инженер, дипломат!
Построил гидравлическую машину, снабжавшую водой все дома во Фромборке.
Лично, как врач, боролся с эпидемией чумы в 1519 году.
Во время войны с тевтонами (1519-21) возглавлял оборону области Вармия. Отстоял и Фромборк, и Ольштын
После войны вел переговоры, в результате которых на орденских землях возникло новое герцогство Пруссия, признавшее себя (на первых порах) вассалом польской короны..
Предложил и провел в Польше денежную реформу.

обсуждение в Европе.
Нашлись активные сторонники (как Дж. Бруно) и активные противники ( в основном из числа иерархов католической церкви).
В конце 16 века датский астроном Тихо Браге (Tycho Brahe , 1546-1601), работавший при дворе германского императора Рудольфа в Праге, предложил компромиссную систему – с неподвижной Землей в центре, окруженном тремя концентрическими вращающимися сферами - Луны, Солнца и звезд. Остальные 5 планет рассматривались в системе Браге как спутники Солнца. Эта система не противоречила догматам католической церкви (Земля – центр мироздания), но при этом сохраняла все математические преимущества системы Коперника.

авансцену выдвинулся итальянский (флорентийский) физик, математик Галилео Галилей (Galileo Galilei, 1564 – 1642).
Совершивший многочисленные астрономические открытия, Галилей стал активным сторонником гелиоцентрической системы и был первым, кто ясно формулировал принцип относительности движения:
.. Дайте движение кораблю, притом с какой угодно скоростью; тогда (если только движение его будет равномерным, а не колеблющимся туда и сюда) вы не заметите ни малейшей разницы [в происходящем]
1630: «Диалог о двух системах мира»

Ньютон (Isaac Newton, 1643-1727): если наблюдать за движением тела из «правильной» (инерциальной) системы отсчета, и если на тело не действуют никакие реальные физические силы, то такое тело будет покоиться. Состояние покоя = движение с постоянной по величине и направлению скоростью, нулевой или не нулевой.
СЛЕДСТВИЯ:
Состояния покоя = состояние равномерного прямолинейного движения с нулевой или не нулевой, но постоянной по величине и направлению скоростью.
Все наблюдатели (системы отсчета), движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, физически равноправны.
если нет сил – скорость не меняется. А если есть сила – скорость меняется. Чем больше сила – тем быстрее меняется скорость. Это выражается формулой: F = mΔv/Δt = mdv/dt

а, тем более, решить – нужен математический инструмент: дифференциальное и интегральное исчисление – главный язык Физики

Исчисление (Calculus) изобретено в конце XVII века (Isaac Newton, 1643-1727, Gottfried Wilhelm von Leibnitz, 1646-1716 и его многочисленные ученики и последователи). Дифференциальные уравнения позволяют найти неизвестную функцию по ее начальным значениям. То есть: решить основную задачу механики – найти траекторию движения по начальным координатам и скоростям точек системы

новый математический инструмент к описанию механического движения – для физики.
Расчеты по небесной механике Ньютон публикует вместе с общей теорией механического движения в сразу ставшей классической книге “Математические основы натуральной философии” (1686 год).

Начало новой Физики

считалось в физике Аристотеля. А именно:
- Равномерное прямолинейное движение оказалось вовсе не вынужденным, требующим придания первоначального импетуса или постоянного действия вынуждающей силы, а свободным, происходящим при полном отсутствии каких либо сил, действующих на тело.
- А вот естественные» движения Аристотеля оказались все как одно вынужденными и совершаемыми исключительно благодаря действию тех или иных сил:
Камни падают вниз под действием силы тяжести и явно не с постоянной скоростью
Горячий дым от костра стремится вверх под действием Архимедовой силы
Наконец - небесные тела. Они движутся явно не прямолинейно. …
Но тут возможны варианты…

и звезды движутся по небосводу, описывая окружности, причем ровно за 1 земные сутки. Разумно предположить, что их движение «кажущееся» для наблюдателя, находящегося на поверхности вращающейся именно с этим периодом Земли.
Другие планеты движутся вокруг Солнца под действием универсальной гравитационной силы притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния между любыми обладающими массами телами.
Этот закон – закон Всемирного тяготения – тоже сформулировал сэр Исаак Ньютон и доказал его математически, подтвердив расчетами траекторий планет в Солнечной системе, в точности совпавшими с результатами многолетних наблюдений!
После публикации расчетов Ньютона система Аристотеля- Птолемея окончательно утратила всякий авторитет.

Начало новой Физики

физических тел задается реальными физическими силами, действующими со стороны других тел, и определяется уравнением:
ΣF = mdv/dt = md2r/dt 2 = dр/dt (p = mv – импульс тела)
По Ньютону: скорость изменения импульса тела определяется суммарной силой, действующей на него со стороны других тел .
Может показаться странным, но Ньютон испытывал проблемы с определением скорости и комбинированной размерности.

1-ый Закон. «Правильные» (инерциальные) системы отсчета , где тела, на которые НЕ действуют никакие реальные физические силы, остаются в покое либо движутся равномерно и прямолинейно, существуют!
3-ий Закон. «=Действие тел друг на друга носит характер взаимо-действия, причем F12 = -F21
Итак: законы (уравнения) мы знаем. Попробуем их применить.

md2х/dt 2 = Const

Прямолинейное движение
под действием постоянной силы

v(t) = Ft/m +v0 = wt +v0 ;
х(t) = Ft2/2m +v0 t +х0 = wt2/2 +v0 t +х0
v0 , х0 – постоянные интегрирования, задаются начальными условиями (2-мя)
w = F/m – ускорение тела. w = dv/dt

= w; wx = 0

Плоское движение
под действием постоянной силы

vx (t) = v0x = const
х(t) = v0x t +х0 => t = (х(t) - х0 ) / v0x
vy (t) = wt + v0y
y(t) = wt2/2 +v0y t +y0 => y = wt2/2 +v0y t +y0
v0x , v0y , х0 , y0 – постоянные, задаются начальными условиями (4-мя)
Удобно выбрать С.О. так, чтобы х0 = y0 = 0
y = wt2/2 +v0y t = wх2/2v0x2 +v0y x/v0x - парабола!
В поле тяжести Земли w = -g, v0y = v0 sin a; v0x = v0 cos a
y = -gt2/2 +v0t sin a = -gх2/2v02cos2a + x tg a

= -g,
v0y = v0 sin a; v0x = v0 cos a
y = -gt2/2 +v0t sin a =
= -gх2/2v02cos2a + x tg a

T = 2v0sin α/g,
L = x(T) = (V02/g)sin 2α,
hmax = (v02/2g)sin2α.

Угол поворота радиуса окружности, упирающегося в точку, где находится тело, за это же малое время, очевидно, составит
dφ = |V|dt/R.
Модуль ускорения тела равен: |(V(t+dt) - V(t))/dt| = |V|dφ/dt = V2/R.

Движение по окружности
Под действием центральной силы

Центростремительное ускорение задается силой, направленной к центру вращения
F = mV2/R.

– вывод (не озарение, а именно логический вывод) Закона всемирного тяготения. Проследим за возможной логикой этого доказательства.

Движение по окружности
Под действием центральной силы

Из соображений симметрии естественно полагать, что сила взаимодействия между Солнцем и каждой из планет
зависит только от их масс m1 m2 и расстояния между ними r,
направлена строго по по линии, соединяющий центры Солнца и планеты
математически выражается формулой F(r)= Gm1m2f(r), где G - некоторая константа, требующая экспериментального определения, а f(r) – некая (скорее всего убывающая) функция, зависящая только от расстояния между взаимодействующими объектами.

f(r) – некая (скорее всего убывающая) функция.

Движение по окружности
Под действием центральной силы

Сделаем упрощение: будем считать, что планета вращается по строго круговой орбите радиуса r со скоростью v. Период обращения планеты вокруг Солнца составит T = 2πr/v
Планета испытывает центростремительное ускорение, порождаемое силой тяготения m2wn = m2v2/r = Gm1m2f(r) => T = 2πr/v= 2πr/( Gm1f(r)R)1/2 ~ (r/f(r))1/2
Ньютону был хорошо известен закон Кеплера, выведенный из многолетних наблюдлений: Т ~ r 3/2.
Зависимости совпадают, если f(r))~ 1/r2.
Сила тяготения должна иметь вид: F(r)= Gm1m2 /r2

размерность, и соответствующую единицу измерения.
Единицы измерения могут быть разными. Например:
длину можно измерять в метрах, или в футах, или в милях. …
время - в секундах, или в часах, или в годах…
массу – в граммах, в килограммах, в фунтах …
Разные единицы удобны для измерений в разных масштабах (или традиционно применяются в разных странах и в разных областях деятельности).
Сравнивать разноразмерные величины – бессмысленно.
Что больше: 6 секунд или 3 метра - вопрос бессмысленный.
Но одноразмерные всегда можно сравнивать:
Пример: 250 метров/сек (скорость) = 900 км/час
Или: 1 баррель нефти (объем) = 158,9 литров = 0,1589 м3

расстояния, проходимого телом в единицу времени, для математиков и физиков казалось совсем не очевидным вплоть до конца 18-го века (!).
Пример: «Murton rule» (XIV век): «Всякая широта движения, униформно приобретаемая или теряемая, соответствует своему среднему градусу, так что столько же в точности будет пройдено благодаря этой приобретаемой широте, сколько и благодаря среднему градусу, если бы тело двигалось всё время с этим средним градусом».
Даже Ньютон и Лейбниц понятие скорости явным образом не определяли.
Только в конце XVIII века Л.Эйлер и К.Гаусс сняли все надуманные ограничения на деление разно-размерных величин и использование комбинированной размерности. Они предложили «перестать дурить головы людишкам» и спокойно делить разно-размерные величины одну на другую. Важно только не забывать, что они размерные, и «таскать» за собой их размерности по всей цепочке вычислений, как сомножители численных значений. Например, делишь 10 метров на 5 секунд – получаешь 2 м/с – и эти «м/с» далее терять нельзя. Они даже важнее, чем численная часть результата.

деятельности принята т.н. Международная система единиц измерения SI.
В механике мы тоже будем использовать систему SI, хотя в других разделах физики часто применяются и другие, более удобные для них системы единиц, о которых поговорим позже.
В основе системы SI - три базовые единицы измерения
длины [l] – метр
времени [t] - секунда
массы [m] - килограмм
Прочие физические величины имеют сложные (комбинированные) размерности, задаваемые их физическими определениями.
ПРИМЕР: скорость v = ds/dt -> м/с
сила F = ma -> кг*м/с2 = Ньютон (Н)

используются десятичные кратные приставки:

используются десятичные дольные приставки:

или 3 метра - вопрос бессмысленный.
Складывать, вычитать, сравнивать и приравнивать можно только одноразмерные величины.
Благодаря этому, уже один анализ размерностей способен дать важную физическую информацию.

не применяя законов Ньютона

Параметры: L [м], m [кг], g [м/с2]
T [с] ~ (L/g)1/2

Параметры: k [кг/с2], m [кг], g [м/с2]
T [с] ~ (m/k)1/2

Пример анализа размерности

Качественный анализ:
Параметры задачи
Размерность
Качественные оценки

не применяя законов Ньютона

Параметры: L [м], m [кг], g [м/с2]
T [с] ~ (L/g)1/2

Параметры: k [кг/с2], m [кг], g [м/с2]
T [с] ~ (m/k)1/2

Пример анализа размерности

Качественный анализ:
Параметры задачи
Размерность
Качественные оценки

не применяя законов Ньютона

Параметры: L [м], m [кг], g [м/с2]
T [с] ~ (L/g)1/2

Параметры: k [кг/с2], m [кг], g [м/с2]
T [с] ~ (m/k)1/2

Пример анализа размерности

Качественный анализ:
Параметры задачи
Размерность
Качественные оценки

физик, до того, как начать решать уравнения, должен уметь угадать результат с точностью до численного коэффициента порядка единицы» А.Б.Мигдал

Качественный анализ:
Параметры задачи
Размерность
Качественные оценки

Пример анализа размерности