Классическая теория гармонического кристалла. Гармоническое приближение. Адиабатическое приближение

Август 10, 2022

Главная
Химия
Классическая теория гармонического кристалла. Гармоническое приближение. Адиабатическое приближение

Содержание

2. Считаем, что среднее равновесное положение каждого иона совпадает с узлом решетки Бравэ. с каждым ионом связан
3. u (R) — отклонение от равновесия для иона, равновесное положение которого есть R
4. P(R) — импульс атома с равновесным положением R, М — масса атома.
5. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ a
7. НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МОНОАТОМНОЙ РЕШЕТКИ БРАВЭ Κ= φ ''(a) φ (х) — энергия взаимодействия двух ионов,
8. Уравнения движения -π/a - π/a
9. поэтому при заданном k решение существует, если ω = ω (k), где
10. Дисперсионная кривая для моноатомной линейной цепочки с взаимодействием только между ближайшими соседями
11. НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКИ С БАЗИСОМ где через u1(na) -смещение иона, совершающего колебания вблизи узла nа,
13. Для каждого из N значений k имеется два решения, что дает 2N нормальных мод, как должно
14. Закон дисперсии для двухатомной линейной цепочки.
15. Случай 1. ε2 = ± ε1 акустическая (а) и оптическая (б) моды в двухатомной линейной цепочке
16. ωmax≈vзвk vзв=√C/ρ vзв= 5*103 м/c k=π/a ≈1010 м-1 ωmax≈ 5*1013 c-1 При малых k
17. Случай 2 Акустическая (а) и оптическая (б) моды двухатомной линейной цепочки при k = ± π/a,
18. Случай 3. К >> G. В первом порядке по отношению G/K Случай 4. К = G.
21. НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ МОНОАТОМНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКИ БРАВЭ
22. Первое свойство симметрии
23. Второе свойство симметрии Третье свойство симметрии или
25. вектор поляризации нормальной моды ε Борна-Кармана условие
26. eiK-R ≡1 N неэквивалентных значений k
27. динамическая матрица
28. D(k) есть четная функция от k и действительная матрица. матрица D(k) симметрична
29. в длинноволновом пределе (при малых k) √
30. Типичные дисперсионные кривые (а) для частот нормальных мод в моноатомной г.ц.к. решетке Бравэ свинца, изображенные в
32. НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКИ С БАЗИСОМ Для каждого значения k имеется Зр нормальных мод, где р
33. Типичные дисперсионные кривые вдоль произвольного направления в k-пространстве для решетки с двухатомным базисом.
34. Удельная теплоемкость вещества отнесенная к 1 молю – энергия, которую необходимо сообщить молю вещества, чтобы повысить
39. гамильтониан системы NA атомов в нерелятивистском приближении:
41. κ Собственные значения и собственные функции зависят от координат Х как от параметров
42. Движение ядер ограничено малой окрестностью Х0 Х-Х0 -малое u- ядерная координата
45. Решение 0-го порядка
48. × Гармоническое приближение
50. Оператор He не содержит производных по R и зависит от R как от параметра . Пусть
51. dr ×
53. - квантовомеханическое усреднение N - полное число атомов в системе
54. гармоническое приближение
55. Теорема вириала для гармонического осциллятора: характерные значения импульса и амплитуды колебаний амплитуда колебаний
56. Для энергии тепловых колебаний ядер в твердом теле Энергия колебаний где T - температура, Tпл стоянная
57. Неадиабатические слагаемые
58. в адиабатическом приближении
61. Скачать презентацию

Слайд 2

Считаем, что среднее равновесное положение каждого иона совпадает с узлом решетки

Бравэ.
с каждым ионом связан определенный узел R решетки Бравэ, относительно которого он совершает колебания,
узел R есть лишь среднее положение иона, а не его фиксированное мгновенное положение.
2. Принимаем, что типичные отклонения каждого иона от его положения равновесия малы по сравнению с расстоянием между ионами.

Слайд 3

u (R) — отклонение от равновесия для иона, равновесное положение которого

есть R

Слайд 4

P(R) — импульс атома с равновесным положением R, М — масса

атома.

Слайд 5

ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
a

Слайд 6

Слайд 7

НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ
ОДНОМЕРНОЙ МОНОАТОМНОЙ РЕШЕТКИ БРАВЭ
Κ= φ ''(a) φ (х)

— энергия взаимодействия двух ионов, находящихся на расстоянии х вдоль прямой.

Слайд 8

Уравнения движения
-π/a - π/a

Слайд 9

поэтому при заданном k решение существует, если ω = ω (k),

где

Слайд 10

Дисперсионная кривая для моноатомной линейной цепочки с взаимодействием только между ближайшими

соседями

Слайд 11

НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ ОДНОМЕРНОЙ РЕШЕТКИ С БАЗИСОМ
где через u1(na) -смещение иона,

совершающего колебания вблизи узла nа, а через u2(nа) — смещение иона, колеблющегося вблизи узла nа+d. К ≥ G

Слайд 12

Слайд 13

Для каждого из N значений k имеется два решения, что дает

2N нормальных мод, как должно быть при 2N степенях свободы (по два иона в каждой из N элементарных ячеек).

Слайд 14

Закон дисперсии для двухатомной линейной цепочки.

Слайд 15

Случай 1.
ε2 = ± ε1
акустическая (а) и оптическая (б) моды

в двухатомной линейной цепочке

Короткие волны распространяются медленнее, чем длинные
Цепочка из одинаковых атомов при распространении акустических волн ведет как упругая струна только при λ>>2a

Слайд 16

ωmax≈vзвk vзв=√C/ρ vзв= 5103 м/c k=π/a ≈1010 м-1
ωmax≈ 51013 c-1
При малых

Слайд 17

Случай 2
Акустическая (а) и оптическая (б) моды двухатомной линейной цепочки

при
k = ± π/a, т. е. на краях зоны Бриллюэна.

Слайд 18

Случай 3. К >> G. В первом порядке по отношению G/K
Случай

4. К = G.
Моноатомная решетка Бравэ, с постоянной решетки а/2

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ
МОНОАТОМНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКИ БРАВЭ

Слайд 22

Первое свойство симметрии

Слайд 23

Второе свойство симметрии
Третье свойство симметрии
или

Слайд 24

Слайд 25

вектор поляризации нормальной моды ε
Борна-Кармана условие

Слайд 26

eiK-R ≡1
N неэквивалентных значений k

Слайд 27

динамическая матрица

Слайд 28

D(k) есть четная функция от k и действительная матрица.
матрица D(k)

симметрична

Слайд 29

в длинноволновом пределе (при малых k)
√

Слайд 30

Типичные дисперсионные кривые (а) для частот нормальных мод в моноатомной
г.ц.к.

решетке Бравэ свинца, изображенные в схеме повторяющихся зон вдоль линий, являющихся сторонами заштрихованного треугольника (б).

Слайд 31

Слайд 32

НОРМАЛЬНЫЕ МОДЫ
ТРЕХМЕРНОЙ РЕШЕТКИ С БАЗИСОМ
Для каждого значения k имеется

Зр нормальных мод, где р — число ионов в базисе.
Частоты ωs (k) (s = 1, . . ., Зр) являются функциями k и обладают периодичностью обратной решетки;

3 из Зр ветвей — акустические;

3 (р — 1) ветвей — оптические;

Векторы поляризации нормальных мод уже не связаны простыми соот-
ношениями ортогональности типа

Слайд 33

Типичные дисперсионные кривые вдоль произвольного направления в k-пространстве для решетки с

двухатомным базисом.

Слайд 34

Удельная теплоемкость вещества отнесенная к 1 молю – энергия, которую необходимо

сообщить молю вещества, чтобы повысить температуру на 1 градус

Дюлонг-Пти – при высоких температурах есть величина постоянная, не зависящая от температуры – 25 Дж/моль*К
Объяснение в рамках классической физики – из закона равномерного распределения энергии по степеням свободы

Слайд 35