Инженерные расчеты численными методами

Июль 23, 2022

Главная
Информатика
Инженерные расчеты численными методами

Содержание

2. Введение [1] В данном курсе под инженерными расчетами будем понимать расчеты, сопровождающие проектирование технологических процессов: поиска
3. Например, в геофизических методах при поиске нефти преобладает сейсморазведка, задачей которой является восстановление геометрии подземных пород
6. Погрешности [1] Приходится признать, что при измерении данных и при их последующем преобразовании численными методами неизбежно
7. Случайные погрешности – возникают за счет случайных помех или ошибок человека, оперирующего с данными. Погрешности допущений
8. Виды численных методов 1. Анализ данных. Аппроксимация. Интерполяция. 2. Итерационные. Итерация – это повторяемая многократно последовательность
16. Рассмотрим применение различной интерполяции для анализа данных и прогнозирования Введение в анализ данных Начала анализа данных
17. Для определения коэффициентов тренда (а и в) выполняют следующие действия: 1) в Excel для определения в
21. Для выявления более точных тенденций применяют линии нелинейного тренда, например, логарифмического. Достоверность R^2 логарифмического тренда чуть
22. Задание 1 Итак, ваше первое задание: определить линейный, полиномиальный и логарифмический тренды и их величины достоверности
23. Линии тренда можно продлить на графике за пределы измеренных данных. Это называется прогнозом. Например, решим задачу
25. Как мы видим, в данном примере, степень достоверности полиномов повышается вместе с их степенью. И с
31. Пример нахождения значения площади численными методами Пусть в таблице даны координаты границ залежи. Строим график У(Х).
32. 1. По графику видно, что функция для интерполяции данных должна быть нелинейной. Рассмотрим в Excel две
33. 2. Но не забываем, что речь идет о приближенных численных методах, поэтому необходимо рассматривать несколько вариантов
34. 3. Вычислим столбцы значений У по обеим формулам и построим графики. По графикам хорошо видно, что
35. 4. Вычислим в MathCAD/SMathStudio определенный интеграл от функции, полученной МНК. Это будет эталонное значение.
36. 5. Вычислим площадь методом трапеций (***) в Excel.
37. 6. Как мы видим значение 2841,33 близко к эталонному 2846,22. Погрешность всего 0,17% ! Т.е. мы
49. Пример использования метода деления пополам Даны координаты залегания двух пород в одной плоскости с разными характеристиками.
50. 1. Строим графики У1 и У2
51. 2. По графикам видно, что есть одна общая точка пересечения. Что бы ее найти, необходимо вычислить
53. 3. По правилу дихотомии – корень У3=0 находится на том отрезке, на концах которого функция У3
54. 5. Таким образом определена формула полинома третьей степени У3мнк=298+7*Х-3*Х^2-1*X^3. Вычислим столбец У3мнк и графически сравним точность
55. 6. Отрезок Х между 6 и 7 делится пополам, но что бы ускорить процесс и наглядность,
56. Предварительный результат: Пласты У1 и У2 пересекаются в одной точке с координатами Х=6,1145 . Что бы
58. 7. Таким образом формула У2=300+5*Х-1*Х^2. В точке Х=6,1145 У2=293,189 Окончательный результат: Пласты У1 и У2 пересекаются
62. Скачать презентацию

Слайд 2

Введение [1]
В данном курсе под инженерными расчетами будем понимать расчеты, сопровождающие

проектирование технологических процессов:
поиска нефти;
разведки нефти;
разработки месторождений;
добычи нефти;
транспортировки и хранения нефти;
переработки нефти;
реализации сырья и нефтепродуктов.
Такие инженерные расчеты требуют применения инструментальных сред и пакетов программ; баз данных и систем управления баз данных (СУБД); компьютерной графики и программ визуализации результатов расчетов; вычислительных методов, экспертных систем (ЭС) и систем принятия решения (СППР).

Слайд 3

Например, в геофизических методах при поиске нефти преобладает сейсморазведка, задачей которой

является восстановление геометрии подземных пород по наблюдениям распространения сейсмических колебаний, возникающих от искусственных источников. Это вычислительные задачи, требующие применения численных методов.
Второй пример: при разведке нефти (оконтуривании залежей, определении мощности и нефтегазонасыщенности пластов, горизонтов месторождения) подсчитывается промышленный запас нефти, определяются ее характеристики, это также требует применения численных информационных методов.
3) Проектирование месторождений требует сопоставимости, сравнения и интеграции данных по разведке и добыче нефти и газа различных компаний, т.е. тоже применяются численные методы.
4) На этапе добычи нефти требуется численными методами моделировать гидроразрыв пласта и повышение нефтеотдачи.
5) Численные методы применяются при анализе экономических, экологических и человеческих последствий аварий при транспортировке и хранении нефти/газа.

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Погрешности [1]
Приходится признать, что при измерении данных и при их последующем

преобразовании численными методами неизбежно возникают неточности или погрешности.
Относительная погрешность – это разность между истинным и наблюдаемым значениями, разделенная на истинное значение и умноженная на 100%.
Приборная погрешность – это максимальная погрешность, которую гарантирует измерительный прибор.
Методические погрешности – которые могут возникнуть в результате применения численных методов обработки данных.
Практически все численные методы расчетов дают результат с некоторой погрешностью. Обычно эта погрешность известна из теоретического описания метода или ее значение можно задать, и гарантированно достигнуть по ходу вычислений.

Слайд 7

Случайные погрешности – возникают за счет случайных помех или ошибок человека,

оперирующего с данными.
Погрешности допущений – ограничение количества свойств исследуемого или моделируемого объекта, например, для сокращения временных или финансовых затрат на вычисления или моделирование.

Слайд 8

Виды численных методов
1. Анализ данных. Аппроксимация. Интерполяция.
2. Итерационные.
Итерация – это

повторяемая многократно последовательность вычислений, в результате которых решение приближается к истинному значению. Для этих методов главными характеристиками являются: условия и скорость сходимости. Если не выполняются условия сходимости , то решение не будет достигнуто. Здесь встречается методическая погрешность в виде усечения количества членов бесконечного ряда из-за ограничения числа итераций.
Численное интегрирование.

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Рассмотрим применение различной интерполяции для анализа данных и прогнозирования Введение в анализ

данных

Начала анализа данных мы с вами рассматривали в процессе изучения дисциплины «Математические модели в расчетах на ЭВМ».
Позвольте вам напомнить порядок анализа данных на наличие тренда в Excel/Calc, MathCAD/SMathStudio.
В процессе работы данные будем усложнять и переходить на более сложный уровень – к численным методам.
Одна из важнейших задач анализа данных – выявить тенденцию изменения данных.
Задача 1. Выявить тенденцию (тренд) изменения данных. Пусть дана информация о температуре воздуха t за 10 дней в городе Томске. Ответить на вопрос [1]: что происходит – потепление, похолодание или в среднем температура неизменна за наблюдаемый период. Тенденцию определяем с помощью линии тренда а+в*t.

Слайд 17

Для определения коэффициентов тренда (а и в) выполняют следующие действия:
1)

в Excel для определения в используем функцию
=ЛИНЕЙН(все данные t; все № наблюдений)
2) а = tсреднее − № среднее*в. Тенденция явно положительная, температура в среднем возрастает.
В версиях Excel MS office 8 или 10 формулу и линию тренда можно найти автоматически. Для этого щелкнуть на графике t правой кнопкой мышки и выбрать тренд линейный, автоматический, и прогноз на 1 этап вперед.
3) Вычисление дробей относительной погрешности |t−tрасч|*100%/|t|
4) Среднее от суммы значений дробей – это относительная ошибка аппроксимации Еотн, в данном примере она равна 88,26%. Прогноз по линейному тренду в данном примере будет некачественным, слишком высокая погрешность 88,3%. Достоверность аппроксимации R^2 всего 0,38 определена автоматически в Excel.

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Для выявления более точных тенденций применяют линии нелинейного тренда, например, логарифмического.

Достоверность R^2 логарифмического тренда чуть выше = 0, 45.
Результат: Линейный тренд 0,33+0,76*t указывает на тенденцию роста температуры.

Слайд 22

Задание 1
Итак, ваше первое задание: определить линейный, полиномиальный и логарифмический тренды

и их величины достоверности аппроксимации R^2. Определить: какой из трендов точнее описывает тенденцию изменения данных, где n – номер вашего варианта по списку в журнале или число, состоящее из двух последних цифр в номере вашей зачетки.

Слайд 23

Линии тренда можно продлить на графике за пределы измеренных данных. Это

называется прогнозом.
Например, решим задачу прогноза изменения давления в магистральном газопроводе с помощью одного из трендов. [1]
Есть критическое значение давления, которое нельзя допускать по регламенту и оно равно 3МПа. При этом значении возможен разрыв газопровода и взрыв газа. С помощью прогноза необходимо показать оператору на каком этапе может возникнуть данная критическая ситуация превышения давления и взрыва.

Слайд 24

Слайд 25

Как мы видим, в данном примере, степень достоверности полиномов повышается вместе

с их степенью. И с достаточно высокой степенью достоверности можно утверждать, что на 8 секунде давление достигнет значения 3МПа, а может даже превысит его.
Задание 2. Определить, достигнет ли критического значения 1000МПа давление на 10 секунде, если известны наблюдения, где n – номер вашего варианта по списку в журнале или число, состоящее из двух последних цифр в номере вашей зачетки:

Слайд 26

Слайд 27

Слайд 28

Слайд 29

Слайд 30

Слайд 31

Пример нахождения значения площади численными методами
Пусть в таблице даны координаты границ

залежи. Строим график У(Х). Требуется определить площадь заштрихованной области.

Слайд 32

1. По графику видно, что функция для интерполяции данных должна быть

нелинейной. Рассмотрим в Excel две функции тренда – степенную и полиномиальную второй степени. Более точной является функция полинома (у нее степень доверия R^2=0,998).

Слайд 33

2. Но не забываем, что речь идет о приближенных численных методах,

поэтому необходимо рассматривать несколько вариантов вычислений, из которых выбираем самый точный. Поэтому используем матричный МНК и программную среду MathCAD/SMathStudio для вычисления коэффициентов полинома второй степени Умнк=а+в*Х+с*Х^2. В матрице Х три столбца: с единицами, с Х и с Х^2. Получаем а=8,495; в=18,027 ;с=2,511.

Слайд 34

3. Вычислим столбцы значений У по обеим формулам и построим графики.

По графикам хорошо видно, что МНК оказался точнее.

Слайд 35

4. Вычислим в MathCAD/SMathStudio определенный интеграл от функции, полученной МНК.
Это

будет эталонное значение.

Слайд 36

5. Вычислим площадь методом трапеций (***) в Excel.

Слайд 37

6. Как мы видим значение 2841,33 близко к эталонному 2846,22.
Погрешность всего

0,17% !
Т.е. мы могли сразу вычислить площадь территории/залежи численным методом трапеций, не прибегая к предварительным математическим ухищрениям ☺
Задание 3. Вычислить площадь территории, ограниченной линией У, заданной координатами в таблице , где n – номер вашего варианта по списку в журнале или число, состоящее из двух последних цифр в номере вашей зачетки Выполнить ВСЕ этапы ☺

Слайд 38

Слайд 39

Слайд 40

Слайд 41

Слайд 42

Слайд 43

Слайд 44

Слайд 45

Слайд 46

Слайд 47

Слайд 48

Слайд 49

Пример использования метода деления пополам
Даны координаты залегания двух пород в одной

плоскости с разными характеристиками. Определить есть ли соприкосновение пород, если да, то определить координаты.

Слайд 50

1. Строим графики У1 и У2

Слайд 51

2. По графикам видно, что есть одна общая точка пересечения. Что

бы ее найти, необходимо вычислить разность координат У3=У2-У1 и решить уравнение У3=0.

Слайд 52

Слайд 53

3. По правилу дихотомии – корень У3=0 находится на том отрезке,

на концах которого функция У3 принимает разные по знаку значения. В нашем примере в точке Х=6 У3=+16; в точке Х=7 У3=-143. (Строки в таблице выделены желтым).
4. График У3 нелинейный, скорее всего функция представляет собой полином третьей степени. Убедимся в этом с помощью тренда в Excel.
Но как мы уже убедились, табличный метод наименьших квадратов (МНК) более точен, и с его помощью мы и найдем математическое выражение функции У3. Для этого в MathCAD/SmathStudio вводим столбец значений У3 и матрицу Х, где первый столбец только 1; второй столбец – это Х; третий столбец – Х^2; третий – Х^3.

Слайд 54

5. Таким образом определена формула полинома третьей степени У3мнк=298+7Х-3Х^2-1*X^3. Вычислим столбец

У3мнк и графически сравним точность найденной формулы. Точность настолько высокая, что графики совпали.

Слайд 55

6. Отрезок Х между 6 и 7 делится пополам, но что

бы ускорить процесс и наглядность, мы разделим отрезок на 10 частей и снова вычислим значения У3. Снова определим, на концах какого отрезка У3 имеет разные знаки. Новый отрезок от 6,1 до 6,2. Снова делим его на 10 частей и вычисляем У3 и т.д. Пока отрезки не станут меньше заданной точности вычислений, например 0,005.

Слайд 56

Предварительный результат: Пласты У1 и У2 пересекаются в одной точке с

координатами Х=6,1145 .
Что бы найти вторую координату (У) нужно найти формулу МНК любого из У: У1 или У2. Пусть это будет У2. Используем ту же формулу полинома 3-й степени и ту же матрицу Х в MathCAD/SmathStudio.

Слайд 57

Слайд 58

7. Таким образом формула У2=300+5Х-1Х^2.
В точке Х=6,1145 У2=293,189
Окончательный результат: Пласты У1

и У2 пересекаются в одной точке с координатами Х=6,1145 и У=293,189.
И для Вас задание 4: Определить точку пересечения контуров УА и УБ, заданных координатами, где n – номер вашего варианта по списку в журнале или число, состоящее из двух последних цифр в номере вашей зачетки.

Слайд 59

Слайд 60