Аксиоматическое определение вероятности (лекция 2)

Август 11, 2022

Главная
Математика
Аксиоматическое определение вероятности (лекция 2)

Содержание

2. Свойства вероятности 1. Вероятность противоположного события: P(Ā)=1-P(A) Док-во. P(Ω) =1(акс.2)= P(Ā+A) = P(Ā)+P(A) (акс.3) → P(Ā)=1-P(A)
3. §7. Условные вероятности
5. §8. Вероятность произведения событий Вероятность произведения событий А и В вычисляется по формуле Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В), которую называют
6. Определение. События А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В). Для независимых событий P(B/A)=P(B). Замечание. Независимые события
7. Пример. Производится бросание двух игральных костей. А = {на первой кости выпало четное число очков} В=
8. §8. Формула полной вероятности
9. Замечания. 1. Если события Н1, Н2,…..Нn – попарно несовместные события и Н1+Н2+….+Нn = Ω, то множество
10. Пример. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит – 25%, вторая – 35%, третья – 40%
11. §9. Формула Байеса Если до опыта вероятности гипотез были Р(Нi), а в результате опыта появилось событие
13. Скачать презентацию

Слайд 2

Свойства вероятности
1. Вероятность противоположного события: P(Ā)=1-P(A)
Док-во. P(Ω) =1(акс.2)= P(Ā+A) =

P(Ā)+P(A) (акс.3) → P(Ā)=1-P(A)
2. Формула сложения вероятностей (вероятность суммы двух совместных событий): P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Док-во. P(A+B)= P(A+BĀ)= P(A)+ P(BĀ) (акс.3)
P(B)= P(AB+BĀ)= P(AB)+ P(BĀ) → P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
3. Монотонность вероятности: пусть событие А ⸦B , тогда P(B)≥P(A)
Док-во. P(B)= P(AB+BĀ)= P(A)+ P(BĀ) ≥ P(A) (акс.1) , ч.т.д.
Определение. Тройка (Ω,u,p) образует вероятностное пространство.

Слайд 3

§7. Условные вероятности

Слайд 4

Слайд 5

§8. Вероятность произведения событий
Вероятность произведения событий А и В вычисляется по

формуле
Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В),
которую называют формулой умножения вероятностей.
Если число рассматриваемых событий больше двух, то вероятность произведения событий следует вычислять, последовательно применяя формулу умножения вероятностей. Например, для трех событий
Р (АВС)=Р(АВ)Р(С/АВ)=Р(А)Р(В/А)Р(С/АВ)

Слайд 6

Определение. События А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В). Для независимых

событий P(B/A)=P(B).
Замечание. Независимые события всегда совместны. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Определение. События A1, A2,…An называются независимыми в совокупности, если для любого 1≤k≤n и любого набора различных между собой индексов i1,i2…ik имеет место равенство:
P(Ai1∩Ai2…∩Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)
Замечание. Если события независимы в совокупности, то они попарно независимы, т.е. любые два события независимы. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.

Слайд 7

Пример. Производится бросание двух игральных костей.
А = {на первой кости выпало

четное число очков}
В= {на второй кости выпало нечетное число очков}
С = {сумма очков четна}
Являются ли события попарно независимыми и независимыми в совокупности?
Решение.
Р(АВС)=0; Р (А)=Р(В)=Р(С)=1/2; Р (АС)=Р(АВ)=Р(СВ)=1/4
Вывод.
События попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

Слайд 8

§8. Формула полной вероятности

Слайд 9

Замечания.
1. Если события Н1, Н2,…..Нn – попарно несовместные события и Н1+Н2+….+Нn

= Ω, то множество событий Н1, Н2,….., Нn называется полной группой событий.
2. Часто события Н1, Н2,….., Нn называют гипотезами.
3. Формула полной вероятности работает в том случае, если множество гипотез Нi счетно.

Слайд 10

Пример.
На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит – 25%, вторая –

35%, третья – 40% всей продукции. Брак в продукции составляет 5%, 4% и 2% соответственно. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным? (0,0345)
Решение.
А={случайно выбранный болт оказался дефектным}; P(A)=?
Нi={случайно выбранный болт изготовлен i-ой машиной}; i=1,2,3.
P(Н1)=0,25; P(Н2)=0,35; P(Н3)=0,4;
P(A/Н1)=0,05; P(A/Н2)=0,04; P(A/Н3)=0,02
P(A)= 0,25*0,05+ 0,35*0,04+0,4*0,02=0,0345

Слайд 11

§9. Формула Байеса
Если до опыта вероятности гипотез были Р(Нi), а в результате

опыта появилось событие A, то с учетом этого события "новые", т.е. условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:
P(Hk/A) = P(Hk)P(А/Hk) /P(A), где
P(Hk) - априорная вероятность гипотезы Hk;
P(Hk/A) - апостериорная вероятность гипотезы Hk ;
P(А/Hk) - вероятность наступления события A при истинности гипотезы Hk;
P(A) - полная вероятность наступления события A.
Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту наступления события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

Аксиоматическое определение вероятности (лекция 2)

Содержание

Свойства вероятности1. Вероятность противоположного события: P(Ā)=1-P(A) Док-во. P(Ω) =1(акс.2)= P(Ā+A) =

§7. Условные вероятности

§8. Вероятность произведения событийВероятность произведения событий А и В вычисляется по

Определение. События А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В). Для независимых

Пример. Производится бросание двух игральных костей.А = {на первой кости выпало

§8. Формула полной вероятности

Замечания.1. Если события Н1, Н2,…..Нn – попарно несовместные события и Н1+Н2+….+Нn

Пример.На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит – 25%, вторая –

§9. Формула БайесаЕсли до опыта вероятности гипотез были Р(Нi), а в результате

Похожие презентации