Аппроксимация функции

Постановка задачи

Простейшая задача: в дискретные моменты времени наблюдаются значения функции ;

2. Для функции известно её аналитическое представление, но вычисление каждого значения

3. Функция задаётся своими значениями в узлах , из интервала .

4. Задача численного решения определённого интеграла или дифференциального уравнения.

26.09.2014

Области использования аппроксимации :
моделирование;
планирование и статистическая обработка данных;
определение значений функции

Аппроксимация

Точная в узлах — интерполяция

Приближённая в узлах

Кусочно —
линейная

Многочленами

Нелинейными

Аппроксимация

26.09.2014

Если аппроксимация функции происходит в промежуточных узлах, т.е. , причём тогда

Интерполирование

26.09.2014

Если аппроксимация функции происходит вне рассматриваемого отрезка , тогда говорят об

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

Основные понятия.
Задано множество точек , принадлежащих отрезку и значения функции
в

ОБОБЩЁННЫЙ ПОЛИНОМ
– числовые коэффициенты,
– множество функций, определённых на рассматриваемом отрезке

1. Последовательность степеней .
2. Последовательность тригонометрических функций .
3. Последовательность экспонент

Многочлен Тейлора m-ой степени:
Для можно использовать известные разложения функций.

26.09.2014

Погрешность метода — остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа:
где c

Существование и единственность интерполяционного многочлена

26.09.2014

Теорема.
Для таблично заданной функции на множестве узлов

Будем искать многочлен
Нужно найти коэффициенты a0, a1, ..., an.
Они должны удовлетворять

Если система крамеровская, то решение
СУЩЕСТВУЕТ и ЕДИНСТВЕННОЕ.
Пусть m+1 =

Метод нахождения коэффициентов,
используемый при доказательстве теоремы,
называется
методом неопределённых коэффициентов.

26.09.2014

Если m < n, СЛУ может быть несовместна.
Например, m = 1,

Если m > n, СЛУ имеет бесконечно много решений.
Например, m

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Выразим многочлен Ln(x) как линейную комбинацию значений f0, f1,

Рассмотрим в качестве подсказки частные случаи.
1) n = 1: x0, x1

2) n=2: x0, x1, x2 — узлы, f0, f1 , f2—

Опр. Интерполяционным многочленом Лагранжа называется полином

.
Опр. Лагранжевы коэффициенты —

Замечание:
Лагранжевы

Пример 1.
Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции, заданной таблицей

Так как задано

26.09.2014

Можно вычислить приближённое значение в точке .

26.09.2014

Погрешность интерполяции

Погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа
Предполагаем, что .
Ln(x) — многочлен Лагранжа: для

Запишем равенство
где – многочлен определённый через узлы x0, x1, ..., xn

Введём в рассмотрение функцию

26.09.2014

Итак, существует : .
Тогда
и , т. к.
получаем
Отсюда

26.09.2014

Для остаточного члена получаем выражение

26.09.2014

Точное представление f (x) через её интерполяционный многочлен Лагранжа :
где и