Замена переменной в двойном интеграле

ТЕОРЕМА.

Пусть преобразование x=x(u,v), y=y(u,v) переводит замкнутую ограниченную область D в замкнутую

то имеет место

формула замены переменной в двойном интеграле:

якобиан перехода

ПРИМЕРЫ.

1

Вычислить двойной интеграл

где область D ограничена линиями

РЕШЕНИЕ.

Введем новые переменные:

Прямая

переходит в прямую

Прямая

переходит в прямую

Тогда прямая

переходит в прямую

Область D* –треугольник:

Найдем якобиан:

2

Вычислить двойной интеграл

где область D ограничена осью х и
верхней полуокружностью

РЕШЕНИЕ.

Область D –полуокружность:

Введем новые переменные:

Прямая

переходит в прямую

Полуокружность

переходит в прямую

Область D* –прямоугольник:

Найдем якобиан: