Численное диференцирование

Июль 31, 2022

Главная
Математика
Численное диференцирование

Содержание

2. План Численное дифференцирование функций, заданных аналитически Численное дифференцирование функций, заданных дискретным набором данных Метод Рунге уточнения
3. Разностная схема первого порядка точности Производная от функции Простейшая приближенная формула (правосторонняя разностная схема) Ряд Тейлора
4. Симметричная разностная схема второго порядка Ряд Тейлора Ошибка приближенной формулы Формула точна для полиномов второй степени,
5. Симметричная разностная схема для второй производной Ряд Тейлора Ошибка приближенной формулы Формула точна для полиномов третьей
6. Продифференцировать численно функцию с применением правосторонней и симметричной разностных формул для первой производной на равномерной сетке.
7. Численное дифференцирование дискретно заданных функций Таблица сглаживается непрерывной функцией φ(x) одним из методов интерполяции или аппроксимации
8. Численное дифференцирование дискретно заданных функций Можно использовать аппарат разложения функций в ряд Тейлора Отношение конечных разностей
9. Численное дифференцирование дискретно заданных функций Вторая производная Третья производная Правосторонние разности Левосторонние разности Центральные разности Центральные
11. Скачать презентацию

Слайд 2

План
Численное дифференцирование функций, заданных аналитически
Численное дифференцирование функций, заданных дискретным набором данных
Метод

Рунге уточнения формул численного дифференцирования

Литература

Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л., Численные методы. –М.: Физматлит, 2004. - 400 с.
Поршнев С.В., Беленкова И.В., Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.

Слайд 3

Разностная схема первого порядка точности
Производная от функции
Простейшая приближенная формула (правосторонняя разностная

схема)

Ряд Тейлора

Ошибка приближенной формулы

Левосторонняя разностная схема первого порядка

Формулы точны для полиномов первой степени, т.к. для них

Слайд 4

Симметричная разностная схема второго порядка
Ряд Тейлора
Ошибка приближенной формулы
Формула точна для полиномов

второй степени, т.к. для них

Слайд 5

Симметричная разностная схема для второй производной
Ряд Тейлора
Ошибка приближенной формулы
Формула точна для

полиномов третьей степени, т.к. для них

Схемы для производных более высоких порядков можно строить аналогично

Альтернативная идея вывода

Слайд 6

Продифференцировать численно функцию
с применением правосторонней и симметричной разностных формул для первой

производной на равномерной сетке. Сопоставить ошибки приближенных формул численного дифференцирования.

Пример

Слайд 7

Численное дифференцирование дискретно заданных функций
Таблица сглаживается непрерывной функцией φ(x) одним

из методов интерполяции или аппроксимации

Процедура численного дифференцирования является некорректной: близость искомой и сглаживающей функций не гарантирует близости их производных. Производные даже могут иметь разные знаки.

Слайд 8

Численное дифференцирование дискретно заданных функций
Можно использовать аппарат разложения функций в

ряд Тейлора

Отношение конечных разностей справа

Отношение конечных разностей слева

Отношение центральных разностей

Порядком точности метода численного дифференцирования называют показатель степени h в главном члене погрешности

Слайд 9

Численное дифференцирование дискретно заданных функций
Вторая производная
Третья производная
Правосторонние разности
Левосторонние

разности

Центральные разности

Центральные разности

Фактически, используется 5 узлов

Используется 4 узла сетки

Четвертая производная