Действительные числа

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Действительные числа

Содержание

2. Понятие иррационального числа Построение отрезка заданной длины Понятие положительного действительного числа Действия над действительными числами Геометрическая
3. При измерении длины отрезка а при единичном отрезке е могут возникнуть следующие ситуации: 1. Единичный отрезок
5. 3. Единичный отрезок е и любая его часть не укладывается в отрезке а целое число раз,
6. Рассмотрим процесс измерения длины отрезка nе n и n+1 есть приближенные значения длины отрезка а при
7. Будем укладывать е1 в отрезке а1
10. Бесконечные десятичные периодические дроби являются рациональными числами (они могут быть представлены в виде обыкновенных дробей)
11. В VI в. до н.э. в школе Пифагора, где была поставлена и решена задача: существует ли
12. Доказательство («от противного») m – четно, т. е. m = 2k, k ∈ N ⇒ 4k2
13. Доказательство аналогично Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь n,n1n2 … nк… Множество положительных иррациональных чисел
14. К понятию иррационального числа можно прийти не только через процесс десятичного измерения длин отрезков, но при
15. 12 1,42 1,412 1,4142 и т. д.
16. Понятие положительного действительного числа Q+ ∪ I+ = R+ Любое действительное число может быть представлено бесконечной
17. х = n,n1n2 … nк… у = m,m1m2 … mк… ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ R+ х
19. а1 = 1,4 а'1 = 1,5 а2 = а‘2 = 1,41 1,42 а3 = а‘3 =
20. (∀ а ∈ R) ак ≤ а Любое действительное число разбивает множество рациональных чисел на два
21. ак = НГа – нижняя граница числа а а'к = ВГа – верхняя граница числа а
22. ДЕЙСТВИЯ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ Пусть даны действительные числа а и b ак и bк – их
23. Суммой положительных действительных чисел а и b называется такое число а + b, которое удовлетворяет следующему
24. а = 0,33333… а4 = 0,3333; а4' = 0,3334 b4 = 1,5707; b4' = 1,5708 а4+
25. ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ Сложение во множестве R+ коммутативно: (∀ а, b ∈ R+) а + b =
26. Ассоциативный закон сложения (∀ а, b, с ∈ R+) (а + b) + с = а
27. Произведением положительных действительных чисел а и b называется такое число а · b, которое удовлетворяет следующему
28. 3,14 ≤ π
29. ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ 1) коммутативность: (∀ а, b ∈ R+) а · b = b · а
30. Дистрибутивный закон умножения относительно сложения (∀ а, b, с ∈ R+) (а + b) · с
31. {(ак + bк)· ск} ≤ (а + b) · с {ак·ск + bк·ск} ≤ а·с +
32. Разностью двух положительных действительных чисел а и b называется действительное число с = а – b,
33. Геометрическая интерпретация действительного числа
34. Отрицательное направление Положительное направление О О – начало отсчета Положительный луч Отрицательный луч Задан отрезок, принятый
35. Все точки, изображающие положительные действительные числа, располагаются справа от точки О Числа, расположенные на координатной прямой
36. Множество отрицательных действительных чисел обозначают R- R- ∪ R+ ∪ {0} = R Расстояние от начала
37. Каждой точке числовой прямой можно поставить в соответствие действительное число по следующему правилу: 1) выбранной точке
38. Разным точкам числовой прямой поставлены в соответствие разные числа. Нет ни одного действительного числа, которое не
39. Числовые множества {х| х∈ R, а интервал {х| х∈ R, а ≤ х ≤ b} [а;
40. {х| х∈ R, а полуинтервал {х| х∈ R, а ≤ х полуинтервал
41. {х| х∈ R, х ≥ а} [а; +∞) луч {х| х∈ R, х > а} (а;
42. {х| х∈ R, х ≤ а} (- ∞; а] луч {х| х∈ R, х луч
43. При любом расположении на координатной прямой двух разных точек А(а) и В(b) расстояние d между этими
44. Действия над действительными числами Суммой двух действительных чисел называется число, удовлетворяющее условиям: - сумма двух положительных
45. Произведением двух действительных чисел называется число, удовлетворяющее условиям: - произведение положительных чисел есть число положительное и
46. Вычитание и деление действительных чисел определяется как действия, обратные соответственно сложению и умножению. Вычитание во множестве
48. Скачать презентацию

Слайд 2

Понятие иррационального числа
Построение отрезка заданной длины
Понятие положительного действительного числа
Действия над

действительными числами
Геометрическая интерпретация множества действительных чисел

Слайд 3

При измерении длины отрезка а при единичном отрезке е могут возникнуть

следующие ситуации:

1. Единичный отрезок е укладывается в отрезке а целое число раз (n раз):
mе(а) = n или а = nе

Длина отрезка а при единице длины е выражается натуральным числом n
Отрезки а и е в этом случае называются соизмеримыми

Понятие иррационального числа

Слайд 4

Слайд 5

3. Единичный отрезок е и любая его часть не укладывается в

отрезке а целое число раз, т.е. его длину нельзя выразить ни натуральным числом, ни обыкновенной дробью. Длины таких отрезков выражаются иррациональными числами.

Слайд 6

Рассмотрим процесс измерения длины отрезка
nе < а < (n+1) е
n

и n+1 есть приближенные значения длины отрезка а при единице длины е с недостатком и с избытком с точностью до единицы

Слайд 7

Будем укладывать е1 в отрезке а1

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Бесконечные десятичные периодические дроби являются рациональными числами (они могут быть представлены

в виде обыкновенных дробей)

Слайд 11

В VI в. до н.э. в школе Пифагора, где была поставлена

и решена задача: существует ли рациональное число, выражающее длину диагонали квадрата со стороной, равной 1?

Если за единицу длины взять сторону квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена положительным рациональным числом

Доказать, что х ∉ Q+

Слайд 12

Доказательство («от противного»)
m – четно, т. е. m = 2k,

k ∈ N ⇒ 4k2 = 2n2 ⇒
2k2 = n2 ⇒ n2 – четное ⇒ n – четное ⇒

- сократимая дробь ⇒ противоречие

Слайд 13

Доказательство аналогично
Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь
n,n1n2 … nк…
Множество

положительных иррациональных чисел обозначают I+

Слайд 14

К понятию иррационального числа можно прийти не только через процесс десятичного

измерения длин отрезков, но при выполнении некоторых действий (извлечение корня из некоторых рациональных чисел, логарифмирование и др.)

Слайд 15

12 < 2 < 22
1,42 < 2 < 1,52
1,412

< 2 < 1,422

1,4142 < 2 < 1,4152

и т. д.

Слайд 16

Понятие положительного действительного числа
Q+ ∪ I+ = R+
Любое действительное

число может быть представлено бесконечной десятичной дробью – периодической (если оно является рациональным) и непериодической (если оно иррационально)
а = n,n1n2 … nк…

Слайд 17

х = n,n1n2 … nк…
у = m,m1m2 … mк…
ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА НА

МНОЖЕСТВЕ R+

х < у, если n < m,
или существует такое k, что n = m, n1 = m1, n2 = m2, … , nк-1 = mк-1, nк < mк

Два положительных действительных числа считаются равными, если их десятичные представления одинаковы

(∀ х, у ∈ R) х = у, х < у, х > у

Слайд 18

Слайд 19

а1 = 1,4 а'1 = 1,5
а2 = а‘2 =
1,41 1,42
а3 =

а‘3 =

1,414 1,415

Слайд 20

(∀ а ∈ R) ак ≤ а < а'к
Любое действительное число

разбивает множество рациональных чисел на два подмножества {ак} и {а'к}, причем {ак} никогда не достигает своей верхней границы а (если а ∈ I+), {а'к} – своей нижней границы

Слайд 21

ак = НГа – нижняя граница числа а
а'к = ВГа

– верхняя граница числа а

Слайд 22

ДЕЙСТВИЯ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
Пусть даны действительные числа а и b
ак и

bк – их приближенные значения по недостатку,
ак´ и bк´ – их приближенные значения по избытку.
Тогда для любого k∈N
ак ≤ а < ак´, bк ≤ b < bк´

Слайд 23

Суммой положительных действительных чисел а и b называется такое число а

+ b, которое удовлетворяет следующему неравенству:
ак + bк ≤ а + b < ак´ + bк´

Слайд 24

а = 0,33333…
а4 = 0,3333; а4' = 0,3334
b4 = 1,5707; b4'

= 1,5708

а4+ b4 = 1,9040; а4' + b4' = 1,9042

а + b = 1,904 с точностью до 0,001

Слайд 25

ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ
Сложение во множестве R+
коммутативно:
(∀ а, b ∈ R+)

а + b = b + а;
ассоциативно:
(∀ а, b, с ∈ R+) (а + b) + с = а + (b + с)
сократимо:
(∀ а, b, с ∈ R+) а + с = b + с ⇒ а = b
монотонно:
(∀ а, b, с ∈ R+) а > b ⇒ а + с > b + с
(∀ а, b ∈ R+) а + b ≠ а

Слайд 26

Ассоциативный закон сложения
(∀ а, b, с ∈ R+) (а + b)

+ с = а + (b + с)

Слайд 27

Произведением положительных действительных чисел а и b называется такое число а

· b, которое удовлетворяет следующему неравенству:
ак · bк ≤ а · b < ак´ · bк´

Слайд 28

3,14 ≤ π < 3,15

Слайд 29

ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ
1) коммутативность: (∀ а, b ∈ R+) а · b

= b · а
2) ассоциативность:
(∀ а, b, с ∈ R+) (а · b) · с = а · (b · с)
3) дистрибутивность относительно сложения и вычитания:
(∀ а, b, с ∈ R+) (а + b) · с = а · с + b · с
(∀ а, b, с ∈ R+)(а - b) · с = а · с – b · с (а ≥ b)
4) сократимость:
(∀ а, b, с ∈ R+) а · с = b · с ⇒ а = b
5) монотонность:
(∀ а, b, с ∈ R+) а > b ⇒ а · с > b · с
6) нейтральность числа 1 относительно умножения: (∀ а ∈ R+) а · 1 = а

Слайд 30

Дистрибутивный закон умножения относительно сложения
(∀ а, b, с ∈ R+) (а

+ b) · с = а · с + b · с

Доказательство

(∀ а, b, с ∈ R+) (∀ k ∈N) {ак} ≤ а < {ак´},
{bк} ≤ b < {bк´}, {ск} ≤ с < {ск´}

Слайд 31

{(ак + bк)· ск} ≤ (а + b) · с <

{(ак´ + bк´)· ск´}

{ак·ск + bк·ск} ≤ а·с + b·с < {ак´·ск´+ bк´·ск´}

{ак}, {bк}, {ск} – десятичные приближения по недостатку,
{ак´}, {bк´}, {ск´} - десятичные приближения по избытку

Рациональ-ные числа

В Q+ (ак + bк) · ск = ак · ск + bк· ск,
(ак´ + bк´) · ск´ = ак´ · ск´ + bк´· ск´ ⇒

{(ак + bк) · ск = ак · ск + bк· ск}
{(ак´ + bк´) · ск´ = ак´ · ск´ + bк´· ск´} ⇒

(а + b) · с = а · с + b · с

Слайд 32

Разностью двух положительных действительных чисел а и b называется действительное число

с = а – b, удовлетворяющее условию: а = b + с
Частным положительных действительных чисел а и b называется такое действительное число с = а : b, что а = b · с

Слайд 33

Геометрическая интерпретация действительного числа

Слайд 34

Отрицательное направление
Положительное направление
О
О – начало отсчета
Положительный луч
Отрицательный луч
Задан отрезок, принятый за

единицу длины - введен масштаб

Горизонтальную прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и введен масштаб, называют числовой прямой (или координатной прямой)

Слайд 35

Все точки, изображающие положительные действительные числа, располагаются справа от точки О

Числа, расположенные на координатной прямой левее точки О (т. е. на отрицательном луче), называют отрицательными

Слайд 36

Множество отрицательных действительных чисел обозначают R-
R- ∪ R+ ∪ {0}

= R

Расстояние от начала отсчета до точки, координатой которой является число х, называется модулем числа х и обозначается |х|

Примеры: |5| = 5, |- 7| = 7, |0| = 0

Слайд 37

Каждой точке числовой прямой можно поставить в соответствие действительное число по

следующему правилу:
1) выбранной точке О ставим в соответствие число 0,
2) каждой точке М на положительном луче поставим в соответствие положительное число а, где а – длина отрезка ОМ,
3) каждой точке М´ на отрицательном луче поставим в соответствие отрицательное число –а, где |-а| - длина отрезка ОМ´.
Таким образом, каждой точке числовой прямой (при выбранном масштабе) поставлено в соответствие единственное действительное число

Слайд 38

Разным точкам числовой прямой поставлены в соответствие разные числа.
Нет ни одного

действительного числа, которое не соответствовало бы какой-либо точке числовой прямой
То есть между множеством всех точек числовой прямой и множеством R установлено взаимно однозначное соответствие

Слайд 39

Числовые множества
{х| х∈ R, а < х < b} (а; b)
интервал
{х|

х∈ R, а ≤ х ≤ b} [а; b]
отрезок

Слайд 40

{х| х∈ R, а < х ≤ b} (а; b]
полуинтервал
{х|

х∈ R, а ≤ х < b} [а; b)
полуинтервал

Слайд 41

{х| х∈ R, х ≥ а} [а; +∞)
луч
{х| х∈ R, х

> а} (а; +∞)
луч

Слайд 42

{х| х∈ R, х ≤ а} (- ∞; а]
луч
{х| х∈ R,

х < а} (-∞; а)
луч

Слайд 43

При любом расположении на координатной прямой двух разных точек А(а) и

В(b) расстояние d между этими точками равно модулю разности этих координат, т.е.
d = |а - b|

Слайд 44

Действия над действительными числами
Суммой двух действительных чисел называется число, удовлетворяющее

условиям:
- сумма двух положительных чисел есть число положительное и находится по правилам, определенным в множестве положительных действительных чисел;
- сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное, чтобы найти модель суммы, надо сложить модули слагаемых;
- сумма двух чисел с разными знаками есть число, имеющее тот же знак, что и слагаемое с большим модулем; чтобы найти модуль суммы, надо из большего модуля вычесть меньший.

Слайд 45

Произведением двух действительных чисел называется число, удовлетворяющее условиям:
- произведение положительных чисел

есть число положительное и находится по правилам, определенным в R+;
- произведение двух отрицательных чисел есть число положительное; - произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное; чтобы найти модуль произведения, надо перемножить модули этих чисел

Слайд 46

Вычитание и деление действительных чисел определяется как действия, обратные соответственно сложению

и умножению.
Вычитание во множестве R выполняется всегда, так же как и деление, за исключением случая деления на 0

Действительные числа

Содержание

Понятие иррационального числаПостроение отрезка заданной длины Понятие положительного действительного числаДействия над

При измерении длины отрезка а при единичном отрезке е могут возникнуть

3. Единичный отрезок е и любая его часть не укладывается в

Рассмотрим процесс измерения длины отрезкаnе < а < (n+1) е n

Будем укладывать е1 в отрезке а1

Бесконечные десятичные периодические дроби являются рациональными числами (они могут быть представлены

В VI в. до н.э. в школе Пифагора, где была поставлена

Доказательство («от противного») m – четно, т. е. m = 2k,

Доказательство аналогичноИррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробьn,n1n2 … nк… Множество

К понятию иррационального числа можно прийти не только через процесс десятичного

12 < 2 < 22 1,42 < 2 < 1,52 1,412

Понятие положительного действительного числа Q+ ∪ I+ = R+ Любое действительное

х = n,n1n2 … nк…у = m,m1m2 … mк…ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА НА

а1 = 1,4 а'1 = 1,5а2 = а‘2 =1,41 1,42а3 =

(∀ а ∈ R) ак ≤ а < а'кЛюбое действительное число

ак = НГа – нижняя граница числа а а'к = ВГа

ДЕЙСТВИЯ НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИПусть даны действительные числа а и bак и