Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

§ 1. Понятие функции двух переменных.

Пусть x, y – две независимые друг от друга переменные. Графически

Опр. Если каждой точке M(x, y) из множества D по некоторому закону

Геометрическим изображением функции двух переменных является некоторая поверхность в трехмерном пространстве.

Примеры:

График функции
(эллиптический параболоид)

график функции
(гиперболический параболоид)

График функции

График функции

Опр. Областью определения функции z = f(x, y) называется множество D точек M(x, y), в

Примеры

Графическое изображение области определения функции.

Пример. Построим область определения функции

Линии уровня

Опр. Множество точек плоскости таких, что функция f(x, y) принимает в

Построение графика функции двух переменных

Рассмотрим пример построения графика функции

Зафиксируем какое-нибудь значение этой функции, например, z = 75. Тем самым мы определили

Находя множество линий уровня, строим весь график.

§ 2. Понятие функции трех и более переменных.

Всякая упорядоченная совокупность действительных

Опр. Если каждой точке M(x1, x2, …, xn) из области D по некоторому закону

Примеры

Опр. Множество точек пространства, в которых функция трех переменных f(x, y, z) принимает

§ 3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Опр. Число A называется пределом функции z = f(x, y) в точке M0(x0, y0), если

Опр. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке M0(x0, y0), если функция z = f(x, y)

Аналогичные определения имеют место и для функции u = f(x1, x2, …, xn) в случае произвольного

Если в какой – либо точке условие непрерывности не выполняется, то

1. Функция z = f(x, y) не определена в точке M0(x0, y0).
2. Не существует предел

§ 4. Частные производные функции нескольких переменных

Пусть z = f(x, y) – функция двух переменных. Дадим независимой переменной x приращение

Аналогично, если независимой переменной y дадим приращение Δy, оставляя при этом

Опр. Частной производной по x от функции z называется предел отношения

Таким образом, по определению,

Аналогично определяется частная производная от функ-ции z = f(x, y) по переменной y :
Обозначается

В общем случае частной производной первого порядка функции u = f(x1, x2, …, xn) по переменной

Т.к. при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, считают постоянными,

Пример. Найти частные производные функции

Решение. Полагая y = const, находим

Полагая x = const, находим

Пример. Найти значения частных производных функции
в точке M(1, –1, 0).

Решение. Полагая y = const, z = const, находим

Аналогично находим

Предположим, что функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные

Эти производные в свою очередь являются функциями независимых переменных x и

Частными производными 2-го порядка называются частные производные от частных производных 1-го

В общем случае смешанные частные производные могут не совпадать, однако для

Частными производными n–го порядка называются частные производные от частных производных (n – 1)–го

Частные производные любого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными.

Пример. Найти частные производные 2-го порядка функции

Решение. Последовательно находим