Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5

Август 31, 2022

Главная
Математика
Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5

Содержание

2. Основные понятия Уравнение 2-го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция
3. Задача Коши для уравнения 2-го порядка Если уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для
4. Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные
5. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение , не
6. Пример Проинтегрируем Имеем И
7. Пример Уравнение не содержит явно х, поэтому решаем его подстановкой При х=0 Ответ
8. Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение . Если все коэффициенты этого
9. Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если у(х) является решением уравнения , то и Су(х),
10. Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если и -решения уравнения, то и их сумма также
11. Линейно зависимые и линейно независимые функции Две функции и называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если
12. Линейно зависимые и линейно независимые функции Если таких чисел подобрать нельзя, то функции и называются линейно
13. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка Если и -линейно независимые частные решения
15. Скачать презентацию

Слайд 2

Основные понятия
Уравнение 2-го порядка имеет вид
Или
Общим решением уравнения второго

порядка называется такая функция , которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

Слайд 3

Задача Коши для уравнения 2-го порядка
Если уравнение 2-го порядка разрешить

относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения ,
удовлетворяющее начальным условиям:
и
Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2-гопорядка.

Слайд 4

Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка
Если в уравнении

функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку ,
то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям
и .

Слайд 5

Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
Простейшее уравнение 2-го порядка

решают двукратным интегрированием.
Уравнение , не содержащее явно у, решают с помощью подстановки ,
Уравнение , не содержащее х, решают заменой
, .

Слайд 6

Пример
Проинтегрируем
Имеем
И

Слайд 7

Пример
Уравнение
не содержит явно х, поэтому решаем его подстановкой
При

х=0
Ответ

Слайд 8

Линейные однородные уравнения
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

.
Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами .

Слайд 9

Свойства решений линейного однородного уравнения

Теорема 1. Если у(х) является

решением уравнения , то и Су(х), где С-константа, также является решением этого уравнения.

Слайд 10

Свойства решений линейного однородного уравнения
Теорема 2. Если и -решения уравнения,

то и их сумма также является решением этого уравнения.
Следствие. Если и -решения уравнения, то функция
-также решение этого уравнения.

Слайд 11

Линейно зависимые и линейно независимые функции
Две функции и называются линейно

зависимыми на некотором промежутке, если можно подобрать такие числа и ,не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.

Слайд 12

Линейно зависимые и линейно независимые функции
Если таких чисел подобрать нельзя,

то функции и называются линейно независимыми на указанном промежутке.
Функции и будут линейно
зависимыми тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.

Слайд 13

Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка
Если

и -линейно независимые частные решения ЛОУ 2-го порядка, то их линейная комбинация
, где и -произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5

Содержание

Основные понятия Уравнение 2-го порядка имеет видИли Общим решением уравнения второго

Задача Коши для уравнения 2-го порядка Если уравнение 2-го порядка разрешить

Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка Если в уравнении

Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка

Пример Проинтегрируем Имеем И

Пример Уравнение не содержит явно х, поэтому решаем его подстановкойПри

Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если у(х) является

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если и -решения уравнения,

Линейно зависимые и линейно независимые функции Две функции и называются линейно

Линейно зависимые и линейно независимые функции Если таких чисел подобрать нельзя,

Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка Если

Похожие презентации