Двойные интегралы Лекция 7

Август 31, 2022

Главная
Математика
Двойные интегралы Лекция 7

Содержание

2. Цилиндрический брус Назовём цилиндрическим брусом, или цилиндроидом, тело, ограниченное плоскостью Oxy, поверхностью z=f(x,y) и цилиндрической поверхностью,
3. Вычисление объема цилиндрического бруса
4. Продолжение Объём цилиндра приближённо выражается суммой где Δσi –площадь элементарной ячейки . Таким образом, переходя к
5. Определение двойного интеграла Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при условии, что max diam Δσi→0,
6. Продолжение Таким образом, по определению = В этой формуле f(x,y) называют подынтегральной функцией, D – областью
7. Некоторые определения Назовём область D замкнутой, если этой области принадлежат как внутренние, так и граничные точки
8. Некоторые определения Кривая называется гладкой, если эта кривая непрерывна и в каждой точке имеет касательную, непрерывно
9. Некоторые определения Кусочно – гладкой мы называем кривую, которую можно разбить на гладкие кривые точками. Например,
10. Условие существования двойного интеграла Если область D с кусочно – гладкой границей Г ограничена и замкнута,
11. Двойной интеграл в декартовых координатах Так как двойной интеграл не зависит от способа разбиения области на
12. Двойной интеграл в декартовых координатах Тогда имеем =
13. Правильная в направлении оси оУ область Пусть область ограничена сверху и снизу кривыми, изображенными на рисунке,
14. Двукратный интеграл Назовем двукратным интегралом по области, простой и правильной в направлении оси Ох , интеграл
15. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
16. Сведение двойного интеграла к двукратному Двойной интеграл по области, простой и правильной в направлении оси Ох,
17. Если область простая и правильная в направлении оси оХ
19. Скачать презентацию

Слайд 2

Цилиндрический брус
Назовём цилиндрическим брусом, или цилиндроидом, тело, ограниченное плоскостью Oxy,

поверхностью z=f(x,y) и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz (рис). Область D, вырезаемая цилиндрическим брусом на плоскости Oxy, называется основанием
цилиндра, а цилиндрическая поверхность – его боковой поверхностью.

Слайд 3

Вычисление объема цилиндрического бруса

Слайд 4

Продолжение
Объём цилиндра приближённо
выражается суммой
где Δσi –площадь элементарной

ячейки . Таким образом, переходя к пределу при условии, что
max diamΔσi→0, мы получим точный объём цилиндра:

Слайд 5

Определение двойного интеграла
Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при

условии, что max diam Δσi→0, не зависящий ни от разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi, то он называется двойным интегралом по области D от функции z=f(x,y) и обозначается

Слайд 6

Продолжение
Таким образом, по определению
=
В этой формуле f(x,y) называют подынтегральной

функцией, D – областью интегрирования, а dσ – элементом площади.

Слайд 7

Некоторые определения
Назовём область D замкнутой, если этой области принадлежат как

внутренние, так и граничные точки области, то есть если граница области причисляется к самой области.

Слайд 8

Некоторые определения
Кривая называется гладкой, если эта кривая непрерывна и в

каждой точке имеет касательную, непрерывно меняющую своё положение от точки к точке. Очевидно, кривая будет гладкой, если её уравнение на плоскости Oxy может быть записано в виде y=f(x) (a≤x≤b), где функция f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную на данном интервале (a,b).

Слайд 9

Некоторые определения
Кусочно – гладкой мы называем кривую, которую можно разбить

на гладкие кривые точками. Например, кусочно – гладкой кривой является ломаная. Сформулируем без доказательства теорему.

Слайд 10

Условие существования двойного интеграла
Если область D с кусочно – гладкой

границей Г ограничена и замкнута, а функция f(x,y) непрерывна в области D, то двойной интеграл
как предел соответствующих интегральных сумм, существует и не зависит ни от разбиения области D на элементарные ячейки, ни от выбора точек Mi(.
В дальнейшем мы будем предполагать, что условия этой теоремы выполнены.

Слайд 11

Двойной интеграл в декартовых координатах
Так как двойной интеграл не зависит

от способа разбиения области на элементарные ячейки, то в декартовых координатах область разбивают на ячейки прямыми, параллельными координатным осям.
Тогда элемент площади dσ в
декартовых координатах полагают равным
dσ=dxdy.

Слайд 12

Двойной интеграл в декартовых координатах
Тогда имеем
=

Слайд 13

Правильная в направлении оси оУ область
Пусть область ограничена сверху и

снизу кривыми, изображенными на рисунке, а с боков – отрезками прямых. Прямая, параллельная оси, пересекает нижнюю и верхнюю границы области не более, чем в 2-х точках. Такую область называют правильной в направлении оси Оу.

Слайд 14

Двукратный интеграл
Назовем двукратным интегралом по области, простой и правильной в

направлении оси Ох , интеграл вида
Здесь сначала вычисляют внутренний интеграл, а затем внешний.

Слайд 15

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Слайд 16

Сведение двойного интеграла к двукратному
Двойной интеграл по области, простой и

правильной в направлении оси Ох, сводится к двукратному интегралу по такой области:

Слайд 17

Двойные интегралы Лекция 7

Содержание

Цилиндрический брус Назовём цилиндрическим брусом, или цилиндроидом, тело, ограниченное плоскостью Oxy,

Вычисление объема цилиндрического бруса

Продолжение Объём цилиндра приближённо выражается суммой где Δσi –площадь элементарной

Определение двойного интеграла Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при

Продолжение Таким образом, по определению =В этой формуле f(x,y) называют подынтегральной

Некоторые определения Назовём область D замкнутой, если этой области принадлежат как

Некоторые определения Кривая называется гладкой, если эта кривая непрерывна и в

Некоторые определения Кусочно – гладкой мы называем кривую, которую можно разбить

Условие существования двойного интеграла Если область D с кусочно – гладкой

Двойной интеграл в декартовых координатах Так как двойной интеграл не зависит

Двойной интеграл в декартовых координатах Тогда имеем =

Правильная в направлении оси оУ область Пусть область ограничена сверху и

Двукратный интеграл Назовем двукратным интегралом по области, простой и правильной в