Дифференциальные уравнения-4

5. Линейные ДУ I порядка.

Общий вид линейного ДУ I порядка:
А(х), В(х)

Существует несколько (по существу равносильных) приёмов решения линейного ДУ.

Рассмотрим метод Иоганна

Метод И.Бернулли основан на простом замечании, что любую величину h (переменную

Например:

можем взять

или

или

или

соответственно этому придется взять

Пример 1. Найти общее решение ДУ:

Это линейное ДУ вида

Представим (неизвестное

Найдём производную:

Подставим её в уравнение:

Используем своё право выбора u, взяв его

Поскольку в качестве u нам надо взять какое-нибудь одно из решений

Подставляя в уравнение (*) и учитывая, что
, получим:

Общее решение ДУ:

или

Ответ. Общее решение ДУ:

Изложим приём в общем виде:

Представим (неизвестное нам!) общее решение ДУ

Найдём производную:

Подставим её в уравнение:

Используем своё право выбора u, взяв его

Поскольку в качестве u нам надо взять какое-нибудь одно из решений

Подставляя в уравнение (**) и учитывая,
что , получим:

Общее решение ДУ:

Ответ. Общее решение ДУ:

Пример 2. Найти общее решение ДУ:

Решение:

3) Общее решение ДУ:

Ответ. Общее решение ДУ:

Пример 3. Найти общее решение ДУ:

Нужно привести к виду

Решение:

3) Общее решение ДУ:

Ответ. Общее решение ДУ:

Пример 4. Решить задачу Коши: , если y(1)=

Решение:

3) Общее решение ДУ:

Найдем частное решение ДУ:

Подставим начальные условия в общее решение ДУ и

Пример 5. Найти общее решение ДУ:

Нужно привести к виду

Решение:

Иногда нужно решать