Содержание
- 2. Задачи, приводящие к понятию производной 1. Задача о касательной Пусть на плоскости XOY задана непрерывная кривая
- 3. Дадим аргументу x0 приращение Δx и перейдем на кривой от точки M0(x0, f(x0)) к точке M1(x0+Δx,
- 5. Уравнение прямой, проходящей через точку M0 имеет вид: Рассмотрим прямоугольный треугольник M0M1N: - угловой коэффициент секущей
- 6. Тогда угловой коэффициент касательной к кривой в точке M0 :
- 7. 2. Задача о скорости движения Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону S=S(t), где S
- 8. Тогда за промежуток времени Δt средняя скорость составит: Чем меньше Δt, тем лучше средняя скорость характеризует
- 9. Поэтому под скоростью точки в момент времени t0 понимают:
- 10. Определение производной Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х. Выберем точку Дадим аргументу x приращение Δx,
- 11. Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится
- 12. Обозначения производной: Нахождение производной функции называется дифференцированием. Если функция имеет конечную производную в некоторой точке, то
- 13. Вернемся к рассматриваемым задачам. Из задачи о касательной вытекает Производная f / (x0) есть угловой коэффициент
- 14. Тогда уравнение касательной к кривой в данной точке будет иметь вид:
- 15. Из задачи о скорости движения вытекает Производная пути по времени S / (t0) есть скорость точки
- 16. ТЕОРЕМА Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
- 17. Непрерывность функции является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Если функция имеет непрерывную производную на
- 18. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Производная функции может быть найдена по схеме: Дадим аргументу х приращение Δх и
- 19. Находим приращение функции Δy=f(x+Δx)-f(x) 2 3 Составляем отношение: 4 Находим
- 20. ПРИМЕР. Найдем производную функции Дадим аргументу х приращение Δх и найдем значение функции y+Δy: 1 2
- 21. 3 Составляем отношение
- 22. Находим 4 Полученный результат является частным случаем производной от степенной функции Можно показать, что в общем
- 23. производная степенной функции
- 24. Таблица производных основных элементарных функций. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
- 25. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 1 Производная постоянной величины равна 0: 2 Производная аргумента равна 1:
- 26. 3 Производная алгебраической суммы (разности) конечного числа дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
- 27. Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: Следствие2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна
- 28. 5 Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле:
- 29. ПРИМЕРЫ. 1 Найти производную функции и вычислить ее значение в точке х=1.
- 30. Решение. Находим значение производной в точке х=1:
- 31. 2 Найти производную функции и вычислить ее значение в точке х=1.
- 32. Решение. Находим значение производной в точке х=1:
- 33. 3 Найти производную функции и вычислить ее значение в точке х=1.
- 34. Решение. Находим значение производной в точке х=1:
- 35. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Пусть переменная y есть функция от переменной u, y=f(u). И пусть переменная u
- 36. ТЕОРЕМА Если y=f(u), u=φ(x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна
- 37. Правило дифференцирования сложной функции можно записать иначе: или
- 38. Примеры. 1 Найти производные сложных функций:
- 39. Решение:
- 40. 2
- 41. Решение:
- 43. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ Пусть y=f(x) – дифференцируемая и монотонная функция на промежутке Х. Если переменную y
- 44. ТЕОРЕМА Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной
- 45. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки
- 46. Где - бесконечно малая величина при Следовательно, Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых: 1.
- 47. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Δх, часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой
- 48. Пример. Найти приращение и дифференциал функции при х=10 и Δх=0.1
- 49. Решение: при х=10 и Δх=0.1
- 50. Пример. Найти дифференциал функции
- 51. Решение: Следовательно, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:
- 52. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Выберем на графике функции y=f(x) произвольную точку М(x,y). Дадим аргументу х приращение Δх.
- 55. Скачать презентацию