Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции в точке

Задачи, приводящие к понятию производной

1. Задача о касательной

Пусть на

Дадим аргументу x0 приращение Δx и перейдем на кривой от точки

Уравнение прямой, проходящей через точку M0 имеет вид:

Рассмотрим прямоугольный треугольник M0M1N:

-

Тогда угловой коэффициент касательной к кривой в точке M0 :

2. Задача о скорости
движения

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону

Тогда за промежуток времени Δt средняя скорость составит:

Чем меньше Δt, тем

Поэтому под скоростью точки в момент времени t0 понимают:

Определение производной

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х.
Выберем точку

Производной функции y=f(x)
называется предел отношения
приращения функции к приращению
независимого аргумента,

Обозначения производной:

Нахождение производной функции называется
дифференцированием.

Если функция имеет конечную производную в
некоторой

Вернемся к рассматриваемым задачам.

Из задачи о касательной вытекает

Производная f / (x0)

Тогда уравнение касательной к кривой в данной точке будет иметь вид:

Из задачи о скорости движения вытекает

Производная пути по времени S /

ТЕОРЕМА

Если функция y=f(x)
дифференцируема в точке x0,
то она непрерывна

Непрерывность функции является необходимым,
но не достаточным условием дифференцируемости
функции.

Если функция

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Производная функции может быть найдена по схеме:

Дадим аргументу

Находим приращение функции
Δy=f(x+Δx)-f(x)

2

3

Составляем отношение:

4

Находим

ПРИМЕР.

Найдем производную функции

Дадим аргументу х приращение Δх и
найдем значение

3

Составляем отношение

Находим

4

Полученный результат является частным случаем производной от степенной функции

Можно показать, что

производная степенной функции

Таблица производных основных элементарных функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

11.
12.
13.
14.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1

Производная постоянной величины равна 0:

2

Производная аргумента равна 1:

3

Производная алгебраической суммы (разности) конечного числа дифференцируемых функций равна сумме (разности)

Следствие 1.

Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие2.

Производная произведения нескольких дифференцируемых

5

Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле:

ПРИМЕРЫ.

1

Найти производную функции

и вычислить ее значение в точке х=1.

Решение.

Находим значение производной в точке х=1:

2

Найти производную функции

и вычислить ее значение в точке х=1.

Решение.

Находим значение производной в точке х=1:

3

Найти производную функции

и вычислить ее значение в точке х=1.

Решение.

Находим значение производной в точке х=1:

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть переменная y есть функция от переменной u,

ТЕОРЕМА

Если y=f(u), u=φ(x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная

Правило дифференцирования сложной функции можно записать иначе:

или

Примеры.

1

Найти производные сложных функций:

Решение:

2

Решение:

ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y=f(x) – дифференцируемая и монотонная функция на

ТЕОРЕМА

Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции

ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х

Где

- бесконечно малая величина при

Следовательно,

Таким образом, приращение функции

состоит из двух слагаемых:
1.

Дифференциалом функции называется
главная, линейная относительно Δх, часть
приращения функции, равная произведению
производной

Пример.

Найти приращение и дифференциал
функции

при х=10 и Δх=0.1

Решение:

при х=10 и Δх=0.1

Пример.

Найти дифференциал функции

Решение:

Следовательно, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Выберем на графике функции y=f(x) произвольную точку