Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Июль 21, 2022

Главная
Математика
Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Содержание

2. Приращение функции и аргумента Пусть функция определена на промежутке X. Рассмотрим точку Разность называется приращением аргумента
3. Определение производной функции Определение Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к
4. Геометрический смысл производной функции Отношение равно тангенсу угла наклона секущей к оси абсцисс, а производная равна
5. Правила дифференцирования функций Если функции имеют производные в точке , то их сумма , произведение и
6. Производная сложной функции Если y=f(u) и u=h(x) дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции
7. Производные основных элементарных функций
8. Производные высших порядков Обозначения производной второго порядка: Если функция дифференцируемой точке x, то Производные порядка выше
9. Понятие дифференциала функции Определение Дифференциалом функции y=f(x) называется главная, линейная относительно , часть приращения функции, равная
10. Найти дифференциал функции
12. Скачать презентацию

Слайд 2

Приращение функции и аргумента
Пусть функция определена на
промежутке X. Рассмотрим

точку
Разность называется приращением аргумента x.
Разность называется приращением функции y=f(x) в точке x,
соответствующее приращению аргумента .

f(x)

Слайд 3

Определение производной функции
Определение
Производной функции y=f(x) в точке x называется
предел отношения приращения

функции к
приращению аргумента, когда приращение
аргумента стремится к нулю.

Обозначения производной:

Если функция y=f(x) в точке x имеет конечную производную, то
функция y=f(x) называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X,
называется дифференцируемой на этом промежутке.

Слайд 4

Геометрический смысл производной функции
Отношение равно тангенсу угла наклона секущей к оси

абсцисс, а производная
равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.

касательная

секущая

x0

x

y0

y

B

A

- угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x)

- уравнение касательной

Слайд 5

Правила дифференцирования функций
Если функции имеют производные в точке
, то их

сумма , произведение
и частное также имеют производные в
этой точке и справедливы формулы

Производная постоянной равна нулю:

Cледствие:

Слайд 6

Производная сложной функции
Если y=f(u) и u=h(x) дифференцируемые функции от
своих аргументов,

то производная сложной функции
y=f(h(x)) существует и равна
или

Теорема

(о производной сложной функции)

Пример:

1.

2.

Слайд 7

Производные основных элементарных функций

Слайд 8

Производные высших порядков
Обозначения производной второго порядка:
Если функция дифференцируемой точке x, то

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

- производная первого порядка функции y=f(x)

- производная второго порядка функции y=f(x)

…………………………………….

- производная n-ого порядка функции y=f(x)

Слайд 9

Понятие дифференциала функции
Определение
Дифференциалом функции y=f(x) называется главная, линейная относительно , часть

приращения функции, равная произведению производной функции на приращение независимой переменной

Обозначение:

Рассмотрим функцию y=x. Вычислим ее дифференциал:

dy – дифференциал первого порядка

Дифференциалом функции y=f(x) равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной

Слайд 10

Найти дифференциал функции