Дискретные и непрерывные случайные величины

Июль 28, 2022

Главная
Математика
Дискретные и непрерывные случайные величины

Содержание

2. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно
3. Таким образом, если каждому элементарному событию ω можно поставить в соответствие некоторое число, то говорят, что
4. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Случайная величина, принимающая значения, которые можно записать в виде конечного набора или счетной
5. ПРИМЕРЫ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН число дней в наугад взятом году (365, 366); число родившихся мальчиков среди
6. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной
7. рост человека от 150 до 200 см; температура воздуха в случайно выбранный день; скорость самолета в
8. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Каждому значению хn дискретной случайной величины отвечает определенная вероятность pn.
9. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СВ Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между возможными значениями случайной величины
10. РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СВ Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается в виде таблицы:
11. В верхней строке записывают возможные значения хi случайной величины X, а в нижней – их вероятности
12. МНОГОУГОЛЬНИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически: построить точки (xi, pi)
13. МНОГОУГОЛЬНИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ x y O
14. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Математическим ожиданием МХ=М(Х) дискретной случайной величины X называют сумму
15. ПРИМЕР Пример. Подбрасывается игральная кость. Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины X, равной числу выпавших очков.
16. ЗАМЕЧАНИЕ Отметим, что постоянную величину C можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение
17. СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.
18. ПРИМЕР Заработная плата имеет след. ряд распределения: Найти среднюю зарплату. Решение. Средняя заработная плата – это
19. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Следует заметить, что математическое ожидание характеризует случайную величину не полностью. Зная математическое ожидание, нельзя
20. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Бывает, что СВ с равными МХ могут существенно различаться по степени близости к нему
21. ДИСПЕРСИЯ Второй важной особенности СВ является разброс значений этой СВ по отношению к центру её распределения,
22. СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ Дисперсия – величина неотрицательная, т. е. D(X)≥0. Дисперсия постоянной равна нулю: D(X) =0. Постоянная
23. Пример. В предыдущем примере найдем D(X). Сначала найдём M(X2). Для этого построим ряд распределения СВ X
24. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ Квадратный корень из дисперсии случайной величины X называется ее средним квадратическим отклонением и
25. Введение среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной
26. Дискретная случайная величина может быть задана законом распределения, представляющим собой перечень всех возможных значений этой случайной
27. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Функцией распределения вероятностей случайной величины X называют функцию F(x), определяющую вероятность
28. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛЮБОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 0 ≤F(x) ≤ 1. Это свойство следует из того факта,
29. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Функция распределения дискретной случайной величины X имеет вид: где суммируются вероятности
30. ПРИМЕР. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ X ЗАДАН ТАБЛИЦЕЙ: Найдите функцию распределения случайной величины X Решение.
31. ПРИМЕР Таким образом, получаем функцию распределения вида:
32. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Случайная величина X называется непрерывной, если существует функция p(x) такая,
33. ТЕОРЕМА Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее полуинтервалу [a,b) равна определенному интегралу
34. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку
35. Дисперсией непрерывной случайной величины X называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат
37. Скачать презентацию

Слайд 2

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода

испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.
Случайные величины обозначаются прописными буквами X, Y, Z, …, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z.

Слайд 3

Таким образом, если каждому элементарному событию ω можно поставить в

соответствие некоторое число, то говорят, что задана случайная величина.

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Слайд 4

ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Случайная величина, принимающая значения, которые можно записать в

виде конечного набора или счетной последовательности чисел, называется дискретной, т. е. дискретная случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения, число которых конечно или счетное.

Слайд 5

ПРИМЕРЫ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
число дней в наугад взятом году (365, 366);
число

родившихся мальчиков среди десяти новорожденных (0,1,2,…,10);
число вызовов, поступивших на телефонную станцию за сутки;
оценка, которую студент может получить на экзамене;
число несчастных случаев на улицах города Минска.

Слайд 6

НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Случайная величина, которая может принимать все значения из

некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Слайд 7

рост человека от 150 до 200 см;
температура воздуха в случайно выбранный

день;
скорость самолета в момент выхода на заданную высоту;
время ожидания транспорта.

ПРИМЕРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Слайд 8

ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Каждому значению хn дискретной случайной величины отвечает определенная

вероятность pn.

Слайд 9

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СВ
Соотношение, устанавливающее тем или иным способом

связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Слайд 10

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СВ

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается

в виде таблицы:

Слайд 11

В верхней строке записывают возможные значения хi случайной величины X,

а в нижней – их вероятности pi = P(X=xi). Так как события Ai = {X=xi}, i=1,2,…, образуют полную группу событий, то

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СВ

Слайд 12

МНОГОУГОЛЬНИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить

графически: построить точки
(xi, pi) в декартовой прямоугольной системе координат и соединить их отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

Слайд 13

МНОГОУГОЛЬНИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
x
y
O

Слайд 14

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
Математическим ожиданием МХ=М(Х) дискретной

случайной величины X называют сумму произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.
Если дискретная случайная величина X принимает конечное число значений x1, x2,…xn с вероятностями p1, p2, …, pn соответственно, то по определению

Слайд 15

ПРИМЕР
Пример. Подбрасывается игральная кость. Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины X,

равной числу выпавших очков.
Решение. Закон распределения случайной величины X имеет вид:
Следовательно, по определению математического ожидания имеем:

Слайд 16

ЗАМЕЧАНИЕ
Отметим, что постоянную величину C можно рассматривать как дискретную случайную

величину, принимающую лишь одно значение X=C с вероятностью P=1. Поэтому M(C)=C⋅1=C, т. е. математическое ожидание постоянной величины равно самой этой величине.

Слайд 17

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1. Постоянный множитель можно выносить за знак

математического ожидания, т. е.
2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий:
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Слайд 18

ПРИМЕР
Заработная плата имеет след. ряд распределения:
Найти среднюю зарплату.
Решение.

Средняя заработная плата – это математическое ожидание данной случайной величины .

Слайд 19

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
Следует заметить, что математическое ожидание характеризует случайную величину не

полностью. Зная математическое ожидание, нельзя сказать, какие значения принимает случайная величина и как они отклоняются от среднего значения.

Слайд 20

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
Бывает, что СВ с равными МХ могут существенно различаться по

степени близости к нему
МХ=100. Хотя в первом случае отклонение от МХ незначительно, а во втором значительно.

Слайд 21

ДИСПЕРСИЯ
Второй важной особенности СВ является разброс значений этой СВ по

отношению к центру её распределения, т.е. по отношению к математическому ожиданию является дисперсия. Обозначается DX, D(X) .
Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания, т.е.
Чем меньше отклонение, тем меньше и дисперсия, и наоборот.

Слайд 22

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ
Дисперсия – величина неотрицательная, т. е.
D(X)≥0.
Дисперсия постоянной равна нулю: D(X) =0.
Постоянная

выносится за знак дисперсии в квадрате: D(СX) =С2 D(X).
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин X и Y равна сумме дисперсий этих величин:
Упрощенное правило вычисления дисперсии.
Если C – постоянная, то

Слайд 23

Пример. В предыдущем примере найдем D(X). Сначала найдём M(X2). Для

этого построим ряд распределения СВ X 2 :
M(X2) = 6400⋅0,35 + 10000⋅0,5 + 14400⋅0,15 = 9400.
Значит, D(X) = M(X2) – (M(X))2 = 9400 – 962 = 184.

ДИСПЕРСИЯ

Слайд 24

СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ
Квадратный корень из дисперсии случайной величины X называется

ее средним квадратическим отклонением и обозначается σ(X):

Слайд 25

Введение среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия измеряется в

квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины.
Например, если возможные значения некоторой случайной величины измеряются в метрах, то ее дисперсия – в квадратных метрах.
В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений той же размерности, что и сама случайная величина, используется среднее квадратическое отклонение.

СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ

Слайд 26

Дискретная случайная величина может быть задана законом распределения, представляющим собой

перечень всех возможных значений этой случайной величины и их вероятностей.
Однако такой способ неприменим для непрерывных случайных величин.
Введение понятия функции распределения вероятностей случайной величины устраняет этот недостаток.

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Слайд 27

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Функцией распределения вероятностей случайной величины X

называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что X примет значение, меньшее x:
F(x) = P(X < x).

Слайд 28

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛЮБОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
0 ≤F(x) ≤ 1. Это свойство

следует из того факта, что функция F(x) есть вероятность.
Функция распределения F(x) – неубывающая функция, т. е. если x1Вероятность попадания значений случайной величины X в полуинтервал [a,b) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах этого интервала:
Если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a, b), то

Слайд 29

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Функция распределения дискретной случайной величины X

имеет вид:
где суммируются вероятности тех значений случайной величины X, которые меньше x.

Слайд 30

ПРИМЕР. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ X ЗАДАН ТАБЛИЦЕЙ:
Найдите функцию распределения

случайной величины X
Решение. Если x ≤ 0, то событие A={X < x} является невозможным (случайная величина не принимает значений, строго меньших нуля) и, следовательно, F(x) = 0.
Если 0Если 1 < x ≤ 2, то F(x) = P(X=0) + P(X=1) =0,1+0,4=0,5. Действительно, F(x) равно вероятности события A = {X < x}, которое может быть осуществлено, когда случайная величина X примет значение 0 или значение 1. Поскольку два этих события несовместны, то по теореме сложения вероятность события A = {X < x} равна сумме вероятностей событий A1 = {X =0} и A2 = {X =1}.
Если x > 2, то F(x) = 1, так как событие A = {X < x} является достоверным.

Слайд 31

ПРИМЕР
Таким образом, получаем функцию распределения вида:

Слайд 32

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Случайная величина X называется непрерывной, если

существует функция p(x) такая, что при любом x∈R
Функция p(x) входящая в последнее равенство, называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X.
График функции p(x) называется кривой распределения.

Слайд 33

ТЕОРЕМА
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее

полуинтервалу [a,b) равна определенному интегралу от ее плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

Слайд 34

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X,

возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], а плотностью распределения вероятностей является функция p(x) называют определенный интеграл

Слайд 35

Дисперсией непрерывной случайной величины X называют математическое ожидание квадрата ее

отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a, b], а плотностью распределения вероятностей является функция p(x), то

Дискретные и непрерывные случайные величины

Содержание

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода

Таким образом, если каждому элементарному событию ω можно поставить в

ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Случайная величина, принимающая значения, которые можно записать в

ПРИМЕРЫ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНчисло дней в наугад взятом году (365, 366);число

НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Случайная величина, которая может принимать все значения из

рост человека от 150 до 200 см;температура воздуха в случайно выбранный

ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА Каждому значению хn дискретной случайной величины отвечает определенная

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СВ Соотношение, устанавливающее тем или иным способом

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СВ Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается

В верхней строке записывают возможные значения хi случайной величины X,

МНОГОУГОЛЬНИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить

МНОГОУГОЛЬНИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯxyO

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Математическим ожиданием МХ=М(Х) дискретной

ПРИМЕРПример. Подбрасывается игральная кость. Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины X,

ЗАМЕЧАНИЕ Отметим, что постоянную величину C можно рассматривать как дискретную случайную

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН1. Постоянный множитель можно выносить за знак

ПРИМЕР Заработная плата имеет след. ряд распределения:Найти среднюю зарплату. Решение.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ Следует заметить, что математическое ожидание характеризует случайную величину не

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕБывает, что СВ с равными МХ могут существенно различаться по

ДИСПЕРСИЯ Второй важной особенности СВ является разброс значений этой СВ по

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИДисперсия – величина неотрицательная, т. е. D(X)≥0.Дисперсия постоянной равна нулю: D(X) =0.Постоянная