Двойной интеграл

D на плоскости xOy задана ограниченная функция двух переменных z = f(x, y).

правильной в направлении оси Оу (Ох), если любая прямая, параллельная оси Оу (Ох), пересекает границу области не более, чем в двух точках.

Для правильной в направлении оси Оу область нижняя из этих точек - точка входа, а верхняя – точка выхода. Для правильной в направлении оси Ох области точка входа – левая точка пересечения прямой с границей области, точка выхода – правая.

Область, правильная как в направлении оси Оу, так и в направлении оси Ох - правильная.

тело Т плоскостями y = const ( c ≤ y ≤ d), площадь S(y) любого сечения, перпендикулярного к оси Оу определяется

Тогда

(Б)

В формуле (А) интегрирование выполняется вначале по у – в пределах при постоянном, но произвольном значении х, а затем по х – в пределах от x1=a до x2=b. В (Б) интегрирование выполняется: внутренний интеграл берется по х (при фиксированном у), пределы интегрирования указывают границы изменения х, в общем случае зависящие от у; внешний интеграл берется по у, пределы интегрирования постоянны и указывают границы изменения переменной.

Если область интегрирования D является правильной в направлении оси Оу и в направлении оси Ох, то вычисление двойного интеграла можно производить по (А) или по (Б).
Если нижняя или верхняя (левая или правая) линии границы области D представлены различными выражениями, область следует разбить прямыми, параллельными Оу (или Ох). Затем воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла.

Верхняя граница имеет уравнение дуги:

Инт. представить в виде суммы двух интегралов по областям D1 и D2 (каждый по (А)):

интегрирования D является правильной в направлении оси Оу и в направлении оси Ох, то вычисление двойного интеграла можно производить по (А) или по (Б).
Если нижняя или верхняя (левая или правая) линии границы области D представлены различными выражениями, область следует разбить прямыми, параллельными Оу (или Ох). Затем воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла.

D не является правильной, то ее разбивают на конечное число правильных в направлении какой-либо оси областей D1, D2 , … , Dn .

(*)

правильной в направлении оси Оу: произвольная прямая, проведенная параллельно этой оси, пересекает ее границу в двух точках.

в полярных координатах

Формулы (*) отображают область D′ на область D. Точка P∈ D, соответствующая некоторой точке Q∈ D′, называется образом последней, которая, в свою очередь, называется прообразом точки P. Образом любой непрерывной линии, лежащей в области D, служит непрерывная же линия в D′.

в полярных координатах. Продолжение

в полярных координатах. Продолжение

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат, как и в декартовой, сводится к двукратному интегрированию по переменным ϕ и ρ . Правила расстановки пределов.