Матрицы и определители

Математика - наиболее совершенный способ водить самого себя за нос.
А. ЭЙНШТЕЙН

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Матрицей размера m x n

Обозначение:

Где
i=1,2…m
j=1,2…n

- матрица размерности m x n

- элемент матрицы i –ой строки

матрица размерности m x n

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Две матрицы называются равными, если
у них одинаковая размерность и
совпадают

Пример:

- квадратная матрица размерности 3х3

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Элементы матрицы aij , у которых номер
столбца совпадает с номером

единичная матрица

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Матрица любого размера называется
нулевой, если все ее элементы равны 0.

нулевая

Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей-строкой или
вектором-строкой.

матрица-строка

1.1. МАТРИЦЫ И

Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей-столбцом или
вектором-столбцом.

матрица-столбец

1.1. МАТРИЦЫ И

С помощью матриц удобно описывать различного рода зависимости.
Например: Распределение ресурсов по

Эту зависимость можно представить в виде матрицы:

Где элемент aij показывает сколько

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

1. Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу

Пусть дана матрица

Умножаем ее на число λ:

Где каждый элемент матрицы

Например:
Умножая матрицу

на число 2, получим:

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

2. Сложение матриц

Складываются матрицы одинаковой
размерности. Получается матрица той же

Пусть даны матрицы

Складываем их:

Где каждый элемент матрицы С:

Аналогично проводится вычитание

Пример.

Найти сумму и разность матриц:

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Решение:

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

3. Умножение матриц

Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы

Пусть даны матрицы

Умножаем их:

Где каждый элемент матрицы С:

1.1. МАТРИЦЫ И

Пример.

Найти произведение матриц:

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их произведение

Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:

Умножение матриц в общем случае некоммутативно:

1.1.

Перечисленные операции над матрицами обладают следующими свойствами:

А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С)

1

2

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД

λ(А+В)= λА+λВ

А(В+С)=АВ+АС

А(ВС)=(АВ)С

3

4

5

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

4. Транспонирование матриц

Матрица АТ называется
транспонированной к матрице А, если

(АТ)Т=А

(А+В)Т=АТ+ВТ

свойства операции траспонирования:

1

2

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

(λА)Т= λАТ

(АВ)Т=ВТАТ

3

4

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Пример.

Транспонировать матрицу:

1.1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ