Формальные логические теории. Исчисление предикатов

логическое значение ”истина” или ”ложь”, называется предикатом.
Переменные предиката называются предметными переменными.

Для того, чтобы ввести в исчисление квантор существования, свяжем его с квантором всеобщности определением:

ними такие формулы, которые принимают значение ”истина” при всех значениях входящих в эту формулу переменных высказываний. Любая математическая теория интересна не только сама по себе, но и с точки зрения ее приложения в практических целях.
Формулы исчисления высказываний могут иметь некоторый смысл и обозначать некоторые высказывания естественного языка, если существует какая–либо интерпретация математической теории. Говоря неформально, интерпретировать математическую теорию — это значит связать с ней некоторую предметную область и указать соответствие формальных объектов математической теории и объектов данной предметной области.
Определение 2.5. Формула называется общезначимой, если она истинна при любой интерпретации. Логическая формальная теория называется полной, если любая формула выводима в этой теории тогда и только тогда, когда она общезначима.

недоказуемая там формула, которую без противоречия можно присоединить к системе аксиом:
Теорема 2.8. Исчисление предикатов не полно в узком смысле.
Теорема 2.9. (Теорема о полноте исчисления предикатов – теорема Геделя.) Всякая тождественно истинная формула выводима в исчислении предикатов. Иначе говоря, исчисление предикатов полно только в широком смысле.

.
Доказательство. Запишем инверсию исходной формулы:
¬(¬A→(A→ B)).
Заменим все импликации по соответствующей формуле:
¬(¬A→(A→ B)) = ¬(¬¬A∨ (¬A∨ B)).
Применим закон двойного отрицания и закон де Моргана:
¬(¬A→(A→ B)) = ¬(A∨ (¬A∨ B)) = ¬A∧¬(¬A∨ B) =
= ¬A∧¬¬A∧¬B = ¬A∧ A∧¬B .
Получаем предложения: ¬A, A, ¬B. Резольвируем их:
1. ¬A – предложение.
2. A – предложение.
3. ¬B – предложение.
4. Ø R 1, 2.