Фрактальная графика

что наши понятия слабы, а потому, что сии вещи не входят вкруг наших понятий "

Я хотела бы начать свою презентацию с определения : что же такое фрактал?

80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

ЭТО ДЕТИЩА СУХОЙ МАТЕМАТИКИ, НО ОНИ НАСТОЛЬКО ЭСТЕТИЧНЫ, ЧТО ВЫСТАВКА ФРАКТАЛОВ, ПОСТРОЕННЫХ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРА ПОТРЯСЛА МИР, А КНИГА ОРГАНИЗАТОРОВ ВЫСТАВКИ ХАЙНЦА-ОТТО ПАЙТГЕНА И ПЕТЕРА РИХТЕРА, "КРАСОТА ФРАКТАЛОВ" РАСКУПАЛАСЬ КАК ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ АЛЬБОМ

ОНИ УПОРЯДОЧЕНЫ, НО ЭТА НЕ УПОРЯДОЧЕННОСТЬ МОНОТОННОГО ОРНАМЕНТА, ПОВТОРЯЮЩЕГО БЕЗ ИЗМЕНЕНИЙ ОДИН И ТОТ ЖЕ МОТИВ. ОНИ ГЕОМЕТРИЧНЫ, НО ЭТО ГЕОМЕТРИЯ НЕ ИДЕАЛИСТА ПЛАТОНА, ИСКАВШЕГО ВЕЗДЕ ОТПОЛИРОВАННЫЕ ФОРМЫ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ, А ГЕОМЕТРИЯ РЕАЛЬНОГО МИРА - ВЕТВИСТОГО, ПОРИСТОГО, ШЕРШАВОГО, ЗАЗУБРЕННОГО, ИЗЪЕДЕННОГО. НЕ ЗРЯ ЧЕЛОВЕК, ДАВШИЙ ФРАКТАЛАМ ИМЯ, - ПОЛЬСКИЙ МАТЕМАТИК МАНДЕЛЬБРОТ С ФРАНЦУЗСКИМ ИМЕНЕМ БЕНУА, ПРОРАБОТАВШИЙ БОЛЬШУЮ ЧАСТЬ ЖИЗНИ НА АМЕРИКАНСКУЮ КОРПОРАЦИЮ IBM, - НАЗВАЛ СВОЙ ГЛАВНЫЙ ТРУД "ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРИРОДЫ".

или ином отношении воспроизводит его глобальную структуру. В простейшем случае часть фрактала представляет собой просто уменьшенный целый фрактал.

Отсюда основной рецепт построения фракталов: возьми простой мотив и повторяй его, постоянно уменьшая размеры. В конце концов выйдет структура, воспроизводящая этот мотив во всех масштабах, - бесконечная лестница вглубь.

геофизикам определять и предсказывать форму и характер растрескиваний земной коры и особенности распределения в ее слоях различных химических элементов, а астрономам - моделировать формирование планетных систем и галактик, характер рассеивания лучей и космической пыли.

Многие природные объекты также самоподобны и состоят из повторяющихся элементов разных размеров. Очевидные примеры - дерево, куст, колония кораллов

в свою очередь, из маленьких зонтиков. На фотографии слева показано соцветие растения из семейства зонтичных

неё тем, что никакие объекты в памяти компьютера не хранятся. Фрактальное изображение строится по уравнению ( или по система уравнений ), поэтому ничего, кроме формулы, хранить не надо. Изменив коэффициенты в равнении , можно получить совершенно другую фрактальную картину

Для выполнения расчетов, связанных с фрактальной геометрией, и графического представления получающихся результатов существует множество различных компьютерных программ. В их основе лежит возможность ввода базовой формулы, отражающей предполагаемый тип элемента фрактала и её последующих изменений, позволяющих трансформировать фигуры - элементы фрактала : увеличивать их или уменьшат, поворачивать относительно центра рисунка или начальной точки и, главное, задавать количество вложений, то есть число шагов программы

Разделите каждую из его сторон на три отрезка

3. На среднем отрезке стороны постройте равносторонний треугольник со стороной, равной 1/3 стороны исходного треугольника, а на других отрезках постройте равносторонние треугольники со стороной, равной 1/9

4. С полученными треугольниками повторите те же операции. Вскоре вы увидите, что треугольники последующих поколений наследуют свойства своих родительских фрактальных структур

5. Так рождается фрактальная фигура

и рассмотрев его в лупу или микроскоп, можно найти в нем всё новые и новые детали, повторяющие свойства исходной фрактальной структуры

его треть переламываем под углом 60 градусов. Затем повторяем эту операцию с каждой из частей получившейся ломаной - и так до бесконечности. В результате мы получим простейший фрактап - триадную кривую, которую в 1904 году открыла математик Хельга фон Кох.

Если на каждом шаге не только уменьшать основной мотив, но также смещать и поворачивать его, можно получить более интересные и реалистически выглядящие образования, например, лист папоротника или даже целые их заросли

снежинка, многократно увеличенная, оказывается фрактальным объектом. Фрактальные алгоритмы лежат в основе роста кристаллов и растений. Взгляните на ветку папоротникового растения, и вы увидите, что каждая дочерняя ветка во многом повторяет свойства ветки более высокого фрактального уровня

В отдельных ветках деревьев чисто математическими методами можно проследить фрактальные свойства всего дерева. А если ветку поставить в воду, то вскоре можно получить саженец, который со временем разовьется в полноценное дерево ( это легко удается сделать с веткой тополя )

очень симпатичным лесом

Большинство текстур местности в современных компьютерных играх представляют фракталы

ими. Фрактальны слитки металла и горные породы, фрактальны расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений. Кровеносная, нервная, лимфатическая системы в организмах животных, фрактальны речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий и горный рельеф