Неопределенный интеграл и его свойства

1.1. Первообразная функция

ОПР. Функция называется первообразной для функции на данном промежутке

Теорема 1.1. Если функция f(x) непрерывна на данном интервале, то на

где – произвольная постоянная.

ОПР. Совокупность всех первообразных
для данной

Знак

называется интегралом, функция

– подынтегральной функцией,

–

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Основные свойства неопределенного интеграла

2. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
Таким образом,
правильность интегрирования проверяется

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен

6. Если то
где − произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Данное свойство

При вычислении неопределенного интеграла используют формулу:

Таблица простейших интегралов

Вычисление интегралов с помощью преобразования подынтегрального выражения к табличной форме и

Пример 1. Используя таблицу и свойства интегралов, найти интегралы.

Непосредственное интегрирование
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной

При сведении данного интеграла к табличному часто используется следующее преобразование дифференциала

Примеры

Метод замены переменной (метод подстановки) состоит в преобразовании интеграла в другой

Пример

Интегрирование по частям

Формула
где и – дифференцируемые функции, называется
формулой интегрирования по

Некоторые типы интегралов, которые можно вычислять методом интегрирования по частям

Интегралы вида
где

2. Интегралы вида
Здесь полагают
за u обозначают остальные сомножители.
3. Интегралы вида
где a