- Главная
- Математика
- Геометрические преобразования
Содержание
- 2. Геометрические преобразования − взаимно однозначные отображения прямой, плоскости или пространства на себя. Обычно рассматривают такие совокупности
- 3. Пропедевтика изучения темы: знакомство с симметрией в курсе математики 1-6 классов. Симметрия в искусстве. Понятие движения.
- 4. С реальными преобразованиями предметов мы имеем дело постоянно: изображая пространственные фигуры, мы преобразуем эти фигуры в
- 5. Сравнив эти два определения, видим их полную аналогию. Но в определении функции речь идет о сопоставлении
- 6. Точка Х называется неподвижной точкой преобразования f, если f(X)=X. Например, при проектировании фигуры М на прямую
- 7. Пусть Φ1 =f(Φ) и Φ2 = g(Φ1) . В итоге фигура Φ переводится в фигуру Φ2
- 8. Преобразования могут быть очень разнообразны: есть преобразования, которые изменяют форму фигуры. Есть преобразования, которые, хоть и
- 9. Движение в геометрии − преобразования пространства, сохраняющие свойства фигур (размеры, форму и др. ). Понятие движения
- 10. Движение называют собственным или несобственным в зависимости от того, сохраняет ли оно или меняет ориентацию, Всякое
- 11. Поворот плоскости вокруг центра O на угол α. Обозначение: или Свойство поворотов: (n - целое). Композиция
- 12. Центральная симметрия (относительно точки O) на плоскости. Определение и обозначение: Композиция центральных симметрий: (1) с общим
- 13. Осевая симметрия (симметрия относительно прямой l) на плоскости. Обозначение: Sl , l − ось симметрии Композиция
- 14. Параллельный перенос на вектор . Обозначение: Координатные формулы параллельного переноса на вектор , если А(0,0), В(а,
- 15. Выясним более подробно связь того движения, которое определяется в геометрии, с реальным движением тел. Представим себе
- 16. В геометрическом понятии движения удерживают только сопоставление одного положения тела с другим, вовсе отвлекаясь от процесса
- 17. Симметрия (от греческого -συμμετρία- означает соразмерность) - это пропорциональность или гармония в расположении одинаковых предметов какой-либо
- 18. Симметрия очень широко распространена в природе и в творениях человека. В творениях человека симметрия больше всего
- 19. Подобие с коэффициентом k. Обозначение: Определение: если k>0 и Х1 = F k(X) и Y1 =
- 20. Подобные фигуры Обозначение: (фигура Φ1 подобна фигуре Φ2 с коэффициентом k). Свойства подобных фигур: 1) рефлексивность:
- 21. Зеркальная симметрия. Зафиксируем некоторую плоскость α. Симметрией относительно плоскости α называется преобразование фигуры, которое каждой ее
- 22. Параллельное проектирование. Рассмотрим в пространстве некоторую прямую р, пересекающую плоскость α. Через каждую точку Х пространства
- 24. Скачать презентацию
Геометрические преобразования − взаимно однозначные отображения прямой, плоскости или пространства
Геометрические преобразования − взаимно однозначные отображения прямой, плоскости или пространства
Примерами геометрических преобразований, образующих группу преобразований, могут служить движения плоскости (или пространства), аффинные преобразования, проективные преобразования.
В современных школьных программах понятию геометрического преобразования отводится достаточно скромное место: рассматриваются движения плоскости/пространства и преобразования подобия − в курсе геометрии, а также некоторые случаи аффинных преобразований графиков функций − в курсе алгебры.
Школьникам дают понятия таких преобразований как поворот, параллельный перенос, симметрия, иногда инверсия, и показывают, что эти преобразования могут быть полезны при решении определенных задач.
РОЛЬ И МЕСТО ТЕМЫ «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ» В ШКМ
Пропедевтика изучения темы: знакомство с симметрией в курсе математики 1-6
Пропедевтика изучения темы: знакомство с симметрией в курсе математики 1-6
Понятие движения. Основные виды движений. Равенство фигур.
Понятие подобия как преобразования плоскости. Гомотетия. Подобные фигуры.
Понятие геометрического преобразования. Геометрические преобразования пространства (движение и подобие в пространстве).
Параллельное проектирование
Фигуры вращения (конус, цилиндр, шар)
Применение теории геометрических преобразований к решению геометрических задач. Симметрия плоских фигур..
ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
С реальными преобразованиями предметов мы имеем дело постоянно: изображая пространственные
С реальными преобразованиями предметов мы имеем дело постоянно: изображая пространственные
Понятие геометрического преобразования очень похоже на понятие числовой функции. Напомним известное из курса алгебры определение функции:
Если каждому числу x из некоторого множества чисел M поставлено в соответствие определенное число, обозначаемое f(x), то говорят, что на множестве M задана функция f.
А теперь сформулируем определение преобразования фигуры.
Если каждой точке X некоторой фигуры Φ поставлена в соответствие
определенная точка, обозначаемая f(X), то говорят, что задано
преобразование f множества Φ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ШКМ
Сравнив эти два определения, видим их полную аналогию. Но в
Сравнив эти два определения, видим их полную аналогию. Но в
Можно даже сказать, что преобразование фигуры - это задание на ней функции, аргументами и значениями которой являются точки. С другой стороны, задав функцию f(x) на некотором числовом множестве, например, на отрезке [a,b], мы можем также считать, что задали преобразование отрезка [a,b]. В этом случае график функции f(x) помогает нам определить положение образа любой точки этого отрезка.
Примером преобразования фигуры является проектирование ее на прямую или на плоскость. Вспомните, что проектирование фигуры Φ на прямую (на плоскость) состоит в том, что каждой точке Х фигуры Φ сопоставляется ее проекция Х1 на эту прямую (на эту плоскость).
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ШКМ
Точка Х называется неподвижной точкой преобразования f, если f(X)=X. Например,
Точка Х называется неподвижной точкой преобразования f, если f(X)=X. Например,
То преобразование фигуры, все точки которого неподвижны, называется тождественным преобразованием фигуры. Тождественное преобразование мы обозначаем буквой Е. Мы увидим, что и такие простые преобразования необходимы в теории преобразований.
Образом фигуры Φ при преобразовании f называется фигура (ее обозначают f(Φ)) , состоящая из образов всех точек X фигуры Φ. Например, образ наклонной АС к прямой а при проектировании отрезка АС на а − это его проекция АВ на прямую а. А образом прямой р, перпендикулярной плоскости α, при проектировании на α является точка О, в которой пересекаются р и α
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ШКМ
Пусть Φ1 =f(Φ) и Φ2 = g(Φ1) . В итоге
Пусть Φ1 =f(Φ) и Φ2 = g(Φ1) . В итоге
С композицией преобразований школьники встречались в курсе алгебры, когда рассматривали, например, такие функции:
Некоторым композициям преобразований дают специальные названия.
Например, композицию осевой симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный оси симметрии, называют скользящей осевой симметрией .
Композицию зеркальной симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный плоскости симметрии, называют скользящей зеркальной симметрией .
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ШКМ
Преобразования могут быть очень разнообразны: есть преобразования, которые изменяют форму
Преобразования могут быть очень разнообразны: есть преобразования, которые изменяют форму
Знакомство с двумя важнейшими классами геометрических преобразований начинают с класса тех преобразований, которые сохраняют все свойства фигур. Следует обратить внимание учащихся на то, что любое геометрическое свойство можно выразить через расстояния между точками, через длины соединяющих эти точки отрезков. И геометрические величины выражаются через расстояния. Например, мы умеем находить углы и площадь треугольника, зная длины его сторон. Следовательно, мы знаем, как найти площадь и углы любого многоугольника, если известны все расстояния между его вершинами. Точно так же, зная все расстояния между вершинами многогранника, можно найти площадь его поверхности и его объем. Поэтому те преобразования, которые сохраняют расстояния, сохраняют и все другие свойства геометрических фигур. Такие преобразования называют движениями.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ШКМ
Движение в геометрии − преобразования пространства, сохраняющие свойства фигур (размеры,
Движение в геометрии − преобразования пространства, сохраняющие свойства фигур (размеры,
Понятие движения сформировалось путем абстракции реальных перемещении твердых тел.
Движение евклидова пространства − геометрическое преобразование пространства, сохраняющее расстояния между точками (образом треугольника при движении является равный ему треугольник). Движение есть ортогональное преобразование.
Важную роль понятие движение играет в римановых пространствах теории относительности (сильная асимметрия гравитационных полей накладывает ограничения на движения твёрдых тел в таких пространствах).
Движение может быть принято в качестве основного понятия при аксиоматическом построении геометрии. В этом случае вместо аксиом равенства вводятся аксиомы движения. Равенство отрезков, углов и др. фигур определяется через понятие движения (фигуры называются равными, если одна переходит в другую при помощи некоторого движения).
Совокупность движений образует группу.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ДВИЖЕНИЕ
Движение называют собственным или несобственным в зависимости от того, сохраняет
Движение называют собственным или несобственным в зависимости от того, сохраняет
Всякое собственное движение может быть представлено либо как параллельный перенос, либо как вращение вокруг некоторой точки. Собственное движение в пространстве есть или вращение вокруг оси, или параллельный перенос, или же может быть представлено в виде винтового движения (вращения вокруг оси и параллельного переноса в направлении этой оси).
Любое несобственное движение представимо в виде композиции параллельного переноса вдоль некоторого направления и симметрии относительно прямой, имеющей то же самое направление. Несобственное движение в пространстве есть либо симметрия относительно плоскости, либо может быть представлено в виде произведения симметрии относительно плоскости на вращение вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости, либо в виде произведения симметрии относительно плоскости на перенос в направлении вектора, параллельного этой плоскости.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ДВИЖЕНИЕ
Поворот плоскости вокруг центра O на угол α.
Обозначение:
Поворот плоскости вокруг центра O на угол α.
Обозначение:
Свойство поворотов: (n - целое).
Композиция поворотов:
(тождественное преобразование).
Координатные формулы поворота на угол α. Если , Р(х, у), Р1(х1, у1) , то при повороте вокруг точки О(0, 0): х1 = х ∙ cos α − у ∙ sin α,
y1 = х ∙ sin α + у ∙ cos α;
при повороте вокруг точки О(х0, у0): х1 = (х − х0) ∙ cos α − (у − у0) ∙ sin α,
y1 = (х − х0) ∙ sin α + (у − у0) ∙ cos α.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ДВИЖЕНИЕ
Центральная симметрия (относительно точки O) на плоскости.
Определение и
Центральная симметрия (относительно точки O) на плоскости.
Определение и
Композиция центральных симметрий:
(1) с общим центром: (тождественное преобразование).
(2) с различными центрами: (параллельный перенос на вектор )
Координатные формулы центральной симметрии относительно начала координат:
х1 = − х , у1 = − у.
Применение центральной симметрии к решению задач на построение.
Задача 1. Даны точка А и две окружности p1 и p2. Построить отрезок ВС, концы которого лежат соответственно на окружностях p1 и p2 , а серединой которого является точка А.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ДВИЖЕНИЕ
С1
С2
В1
В2
Окружность симметричная данной относительно точки А
Осевая симметрия (симметрия относительно прямой l) на плоскости.
Обозначение:
Осевая симметрия (симметрия относительно прямой l) на плоскости.
Обозначение:
Композиция осевых симметрий:
(1) если l1 ⊥ l2 и O = l1 ∩l2, то (центральная симметрия).
(2) если l1 || l2 , то (параллельный перенос)
Координатные формулы осевой симметрии
относительно оси ОУ: х1 = − х , у1 = у,
относительно оси ОХ: х1 = х , у1 = − у,
относительно прямой х = у: х1 = у , у1 = х.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ДВИЖЕНИЕ
Параллельный перенос на вектор .
Обозначение:
Координатные формулы параллельного переноса
Параллельный перенос на вектор .
Обозначение:
Координатные формулы параллельного переноса
х1 = х + а , у1 = у + b.
Преобразование, обратное к параллельному переносу на вектор есть параллельный перенос на вектор .
Свойство:
(1) коммутативность:
Множество всех параллельных переносов является группой.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ДВИЖЕНИЕ
Выясним более подробно связь того движения, которое определяется в геометрии,
Выясним более подробно связь того движения, которое определяется в геометрии,
Представим себе какое-нибудь реальное тело в некотором определенном положении. Каждая его частица занимает определенное положение – находится в определенной точке Х пространства. Допустим, предмет изменил свое положение. Это значит, каждая его частица заняла некоторое новое (или, в частности, старое) положение. Данная частица, бывшая в точке Х, заняла положение в точке пространства X1; тем самым движение предмета устанавливает соответствие между точками пространства: точка X1 соответствует точке Х. (Можно сказать еще так: «месту Х, где находилась частица, соответствует место X1, где она теперь находится»).
В механике тело называется твердым или даже абсолютно твердым, если оно не допускает никаких деформаций, так что расстояния между его частицами неизменны. Поэтому, если при движении такого тела две его частицы Х и Y перешли в точки X1 и Y1, то расстояния сохраняются: ХУ= X1 У1 , т.е. происходит движение,
как мы его определили геометрически.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
В геометрическом понятии движения удерживают только сопоставление одного положения тела
В геометрическом понятии движения удерживают только сопоставление одного положения тела
Любое движение в геометрии представляет собой либо отвлеченный образ реального движения твердого тела, когда учитывается только то, из каких точек пространства в какие точки переходят частицы тела (т.е. учитывается только соответствие одних точек другим), либо сочетание (композицию) этого отвлеченного образа реального движения с зеркальной симметрией.
Только что сказанное о движениях принадлежит не самой геометрии, а ее связи с физикой. Можно сказать, что геометрия здесь выступает как первая глава механики, трактующая механическое движение. Без движения геометрия не могла бы существовать. В самом деле, уже сравнение отрезков и измерение длин основано на движении предметов, когда один прикладывается к другому.
И должно быть понятно, почему Ньютон в предисловии к своему
великому труду «Математические начала натуральной философии»
писал, что геометрия основывается на механике.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ДВИЖЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
Симметрия (от греческого -συμμετρία- означает соразмерность) - это пропорциональность или
Симметрия (от греческого -συμμετρία- означает соразмерность) - это пропорциональность или
Отдельные предметы или части симметричного предмета являются как бы отражениями или изображениями друг друга в этих зеркальных плоскостях, называются плоскостями симметрии. Простейшим случаем симметрии является такое расположение частей целого, при котором целое делится на две.
Если группа или предмет состоит лишь из совместимых частей, то в них можно провести так называемые оси симметрии и совместить равные части, повернув их вокруг этих осей. Кроме зеркальных плоскостей и осей симметрии есть еще зеркальная точка, или центр симметрии. В нем делятся пополам все прямые, соединяющие попарно одинаковые точки предметов группы или частей одного предмета. Зеркальная плоскость, ось симметрии и центр симметрии называют элементами симметрии и могут быть сведены к зеркальным плоскостям и их сочетаниям.
Какое-либо нарушение симметрии или её отсутствие вообще называется асимметрией.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: СИММЕТРИЯ
Симметрия очень широко распространена в природе и в творениях человека.
Симметрия очень широко распространена в природе и в творениях человека.
В растительном мире также очень распространена симметрия и обнаруживается в расположении органов цветка, частей его листа и даже ветвей. В животном мире симметрия наблюдается не так строго, но также очень распространена. С наружной симметрией стоит в согласии и внутреннее строение животных, растений и кристаллов.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: СИММЕТРИЯ В ПРИРОДЕ И В ТВОРЕНИЯХ ЧЕЛОВЕКА
Подобие с коэффициентом k.
Обозначение:
Определение: если k>0
Подобие с коэффициентом k.
Обозначение:
Определение: если k>0
Композиция преобразования подобия:
Гомотетия. Гомотетией с центром O и ненулевым коэффициентом k называется такое преобразование фигуры, которое каждой ее точке X сопоставляет такую точку X1, что выполняется равенство : .
Подобное преобразование фигуры Φ1 в фигуру Φ2 с коэффициентом k можно представить как композицию гомотетии с коэффициентом k и движения.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ПОДОБИЕ
Подобные фигуры
Обозначение: (фигура Φ1 подобна фигуре Φ2 с
Подобные фигуры
Обозначение: (фигура Φ1 подобна фигуре Φ2 с
Свойства подобных фигур:
1) рефлексивность:
2) симметричность:
3) отношение площадей подобных фигур:
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ: ПОДОБНЫЕ ФИГУРЫ
Зеркальная симметрия. Зафиксируем некоторую плоскость α.
Симметрией относительно плоскости α
Зеркальная симметрия. Зафиксируем некоторую плоскость α.
Симметрией относительно плоскости α
ИЗУЧЕНИИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ
Параллельное проектирование. Рассмотрим в пространстве некоторую прямую р, пересекающую плоскость
Параллельное проектирование. Рассмотрим в пространстве некоторую прямую р, пересекающую плоскость
Параллельную проекцию реальной фигуры представляет собой, например, её тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном
освещении, поскольку солнечные лучи можно считать
параллельными .
В случае, когда прямая р перпендикулярна плоскости α
называется ортогональным проектированием. В этом
случае проекцией Х1 точки Х, не лежащей в плоскости α,
на эту плоскость является основание перпендикуляра,
проведенного из точки Х на плоскость α.
ИЗУЧЕНИИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В СТАРШЕЙ ШКОЛЕ