Координаты и векторы

Июль 30, 2022

Главная
Математика
Координаты и векторы

Содержание

2. Тема 5. Координаты и векторы I. Определение вектора. Основные понятия, связанные с векторами.
3. Понятие вектора А В Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой
4. Нулевой вектор Любая точка на плоскости может рассматриваться как вектор. М Такой вектор называется нулевым.
5. Длина вектора А В
6. ДЛИНОЙ или МОДУЛЕМ ненулевого вектора называется длина отрезка АВ А B C D E F M
7. Как и в плоскости, в пространстве ВЕКТОР определяется как направленный отрезок: A B Точка А –
9. Коллинеарность векторов Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных
10. Сонаправленные векторы Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если у них совпадают направления.
11. Противоположно направленные векторы Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если они не сонаправлены.
12. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых: a b
14. От произвольной точки пространства можно отложить единственный вектор, равный данному: M N Три вектора называются компланарными,
15. Тема 5. Координаты и векторы II. Действия с векторами
16. вектор отложен от точки А А ОТКЛАДЫВАЕНИЕ ВЕКТОРА ОТ ДАННОЙ ТОЧКИ https://youtu.be/DlLM97OvqsA
17. от любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и при том только один
18. Векторы можно складывать – в результате получается вектор. При сложении двух векторов применяются Правило треугольника: F
19. При сложении трех и более векторов применяют правило многоугольника: Обратим внимание, что при сложении соноправленных векторов
20. Также можно найти разность двух векторов – в результате получается вектор. При вычитании двух векторов применяется
21. Задача 1.
22. Даны векторы и . Построить вектор О А В
23. Сложение векторов, как и сложение чисел подчиняется законам: Следующее действие с векторами – умножение вектора на
24. И еще одно действие с векторами – умножение двух векторов. В школьном курсе геометрии изучается скалярное
26. Задача 2. Упростить выражение: Решение: Первый распределительный закон позволяет нам раскрыть скобки. А переместительное свойство сложения
28. Точка С – середина отрезка АВ, а О – произвольная точка плоскости. Доказать, что A B
29. ЗАДАЧА 4: Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых
30. Задача 5 Дано: АВСD — тетраэдр Задание: N ∈ AD, AN = ND P ∈ СD,
32. Скачать презентацию

Слайд 2

Тема 5. Координаты и векторы
I. Определение вектора.
Основные понятия, связанные с

векторами.

Слайд 3

Понятие вектора
А
В
Отрезок, для которого указано, какой из
его концов считается началом,
а

какой – концом, называется вектором.

Слайд 4

Нулевой вектор
Любая точка на плоскости может рассматриваться как вектор.
М
Такой вектор

называется нулевым.

Слайд 5

Длина вектора
А
В

Слайд 6

ДЛИНОЙ или МОДУЛЕМ ненулевого вектора называется длина отрезка АВ
А
B
C
D
E
F
M

Слайд 7

Как и в плоскости, в пространстве ВЕКТОР определяется как
направленный отрезок:
A
B
Точка

А – начало вектора, В – конец вектора. Записывают: или .

Обычную точку в пространстве мы также можем считать вектором, у которого начало совпадает с конечной точкой. Такой вектор называется нулевым и обозначается: или .

Длина отрезка, изображающего вектор, называется модулем (или абсолютной величиной) вектора, т.е.

Естественно, что

Векторы и являются противоположными. Очевидно, что:

Слайд 8

Слайд 9

Коллинеарность векторов
Два ненулевых вектора называются
коллинеарными, если они лежат на одной

прямой или на параллельных прямых.

Слайд 10

Сонаправленные векторы
Два коллинеарных вектора
называются сонаправленными,
если у них совпадают направления.

Слайд 11

Противоположно направленные векторы
Два коллинеарных вектора называются
противоположно направленными, если
они не

сонаправлены.

Слайд 12

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или

на параллельных прямых:

Коллинеарные векторы, в свою очередь, бывают одинаково направленными (или соноправленными) и противоположно направленными. В нашем случае:

Обозначение коллинеарных векторов:

– соноправленные векторы, , – противоположно направленные векторы.

Два вектора называются равными, если: 1) они соноправлены; и 2) их модули равны, т.е.

Слайд 13

Слайд 14

От произвольной точки пространства можно отложить единственный вектор, равный данному:
M
N
Три вектора

называются компланарными, если они лежат в одной плоскости:

Углом между векторами называется угол между их направлениями:

Слайд 15

Тема 5. Координаты и векторы
II. Действия с векторами

Слайд 16

вектор отложен от точки А
А
ОТКЛАДЫВАЕНИЕ ВЕКТОРА
ОТ ДАННОЙ ТОЧКИ
https://youtu.be/DlLM97OvqsA

Слайд 17

от любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору ,

и при том только один

Слайд 18

Векторы можно складывать – в результате получается вектор. При сложении двух

векторов применяются
Правило треугольника:

Слайд 19

При сложении трех и более векторов применяют правило многоугольника:
Обратим внимание, что

при сложении соноправленных векторов получается вектор, соноправленный с данными и его модуль равен сумме модулей слагаемых векторов:

При сложении противоположно направленных векторов получается вектор, соноправленный с вектором, имеющим бóльшую длину и его модуль равен … (подумайте, чему?):

Слайд 20

Также можно найти разность двух векторов – в результате получается вектор.

При вычитании двух векторов применяется видоизмененное правило треугольника – вначале оба вектора строятся с общей начальной точкой, затем соединяются концы этих векторов с выбором направления к «уменьшаемому» вектору:

–

Слайд 21

Задача 1.

Слайд 22

Даны векторы и . Построить вектор
О
А
В

Слайд 23

Сложение векторов, как и сложение чисел подчиняется законам:
Следующее действие с векторами

– умножение вектора на число k. В результате этого действия получается вектор, причем:
если k>0, то и ;
если k<0, то и ;
если k=0, то .

Слайд 24

И еще одно действие с векторами – умножение двух векторов. В

школьном курсе геометрии изучается скалярное произведение векторов. В результате этого действия (в отличии от предыдущих действий с векторами) получается число, равное произведению модулей двух данных векторов на косинус угла между этими векторами, т.е.

Геометрически скалярное произведение векторов можно понимать как площадь параллелограмма (или противоположная ей величина), стороны которого образуются одним из данных векторов и вектором, перпендикулярным второму с таким же модулем:

α – острый угол

α – тупой угол

Слайд 25

Слайд 26

Задача 2.
Упростить выражение:
Решение:

Первый распределительный закон позволяет нам раскрыть скобки.
А переместительное

свойство сложения векторов – привести подобные.

Слайд 27

Слайд 28

Точка С – середина отрезка АВ, а О – произвольная точка

плоскости. Доказать, что

ЗАДАЧА 3:

Слайд 29

ЗАДАЧА 4:
Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит

через точку пересечения продолжений боковых сторон

- по первому признаку

- коллинеарны

Слайд 30

Задача 5
Дано: АВСD — тетраэдр
Задание:
N ∈ AD, AN = ND
P

∈ СD, CP = PD

M ∈ АB, AM = MB

Q ∈ BС, BQ = QC

а) выписать пары равных векторов

б) определить вид четырехугольника MNHQ

AB = AD = DC = BC = DD = AC

Решение:

б) NP ∥ АС, QM ∥ АС

MN ∥ DB, QP ∥ DB

MN = DB = PN = QM,

⇒ MNPQ — квадрат

DB ⏊ AC ⇒ MN ⏊ NP ⇒

Координаты и векторы

Содержание

Тема 5. Координаты и векторы I. Определение вектора. Основные понятия, связанные с

Понятие вектораАВОтрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом,а

Нулевой векторЛюбая точка на плоскости может рассматриваться как вектор. МТакой вектор

Длина вектораАВ

ДЛИНОЙ или МОДУЛЕМ ненулевого вектора называется длина отрезка АВАBCDEFM

Как и в плоскости, в пространстве ВЕКТОР определяется как направленный отрезок:ABТочка

Коллинеарность векторовДва ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной

Сонаправленные векторыДва коллинеарных вектора называются сонаправленными, если у них совпадают направления.

Противоположно направленные векторыДва коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если они не