Уравнения с одной переменной

Июль 29, 2022

Главная
Математика
Уравнения с одной переменной

Содержание

2. Уравнения с одной переменной Пусть f(х) и g(х) – выражения с переменной. Равенство с переменной f(х)
3. Примеры: 3 + х = 7 ⇒ х = 4. Множество решений уравнения {4}. 2) (х
4. 4) (3х + 1) · 2 = 6х + 2⇒ 3) Уравнение х2 + 1 =
5. С точки зрения математической логики: Уравнением с одной переменной называется одноместный предикат f(х) = g(х), х
6. Пример: Множество значений переменной х, при которых f(х) и g(х) имеют определенные значения (имеют смысл), называют
7. Два уравнения f1(х) = g1(х) и f2(х) = g2(х) называются равносильными, если их множества решений равны,
8. 2) (2х + 1)·3 = 6х + 1, х2 + 1 = 0 Т1 = ∅,
9. Пусть даны два уравнения: f1(х) = g1(х), (1) f2(х) = g2(х). (2) Если множество решений уравнения
10. Пример: (х + 1)2 = 16, х + 1= 4. Т2 = {3} Два уравнения равносильны
11. ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ Теорема 1. Если к обеим частям уравнения f(х) = g(х), х∈Х (1)
12. 2) Пусть х = а – корень уравнения (2), т. е. f(а) + t(а) = g(а)
13. 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное
14. Теорема 2. Если обе части уравнения f(х) = g(х), х ∈Х (1) умножить на выражение t(х),
15. Следствие. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от
16. Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти
17. Пример: х(х - 4)(х + 6)(х - 8)=0 ⇔ х = 0 ∨ х – 4
18. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Уравнение вида ах = b называется линейным уравнением с одной переменной
19. Для линейного уравнения ах = b могут иметь место три случая: если а ≠ 0, то
20. Пример: ⇒ 8 + 3х + 2 - 2х = 5х - 12 3х – 2х
21. Графическое решение линейного уравнения первой степени ах = b ⇒ ах - b = 0 Построим
22. Пример: 2х - 3=1,5 х + 1. Строим графики линейных функций у = 2х - 3
23. Квадратное уравнение Уравнение вида ах2 + bх + с = 0, (1) где а, b, с
24. Неполные квадратные уравнения Если в квадратном уравнении b = 0, или с = 0, или b
25. Общая формула корней квадратного уравнения (2) ах2 + bх + с = 0 (1)
26. Выражение D = b2 – 4ас называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D > 0, то
27. Приведенное квадратное уравнение Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1, то есть уравнение вида х2
28. Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней
29. Связь между квадратным трехчленом и квадратным уравнением
30. Биквадратное уравнение Уравнение вида ах4 + bх2 + с = 0 (а ≠ 0) называется биквадратным.
31. Дробно- рациональные уравнения
32. Уравнение f(х) = g(х) называется дробно-рациональным, если f(х) и g(х) – рациональные выражения, хотя бы одно
33. Чтобы решить рациональное уравнение нужно: 1) найти область определения (или область допустимых значений) уравнения (приравнивая знаменатели
34. Пример: ОДЗ: Х = ]−∞; 0[ ∪ ]0; 2[ ∪ ]2; +∞[. 2 – х ≠
35. 2·2х + х(2 - х) = 4·2 4х + 2х – х2 = 8 х2 –
36. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ Общий порядок решения задач с помощью уравнений таков: 1. Вводят переменные,
37. 3. Решают составленное уравнение (или систему уравнений) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по
38. Задачи на движение Моторная лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по
40. 60 · 4·(20 - х) + 60 · 4 ·(20 + х) = 25 ·(20 +
41. Задачи на совместную работу
42. Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может
43. 6х + 30 + 6х = х2 + 5х
44. х2 – 7х – 30 = 0 х1 = 10, х2 = - 3 – посторонний
45. Равенство с двумя переменными f(х, у) = 0 или f(х, у) = g(х, у) называется уравнением
46. Пример: х – 3у = 10. (10; 0), (16; 2), (- 2; - 4) - решения
47. С логической точки зрения: Уравнением с двумя переменными называется двухместный предикат f(х, у) = 0 или
48. Графиком уравнения с двумя переменными f(х,у) = 0 называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых
49. 2) у – х = 0 у = х - прямая точка (1; 2) 3) Итак,
50. Линейное уравнение с двумя переменными Уравнение вида ах + bу = с называется линейным уравнением с
51. Выразим у через х: (b ≠ 0) – линейная функция, ее графиком является прямая. Если b
52. Пример: Построить график уравнения 2х – 3у = - 6. х = 0 ⇒ у =
53. Уравнение окружности Окружность с центром С (а, b) и радиусом R задается уравнением (х – а)2
54. Примеры: 1) Записать уравнение окружности с центром С (-7; 6) и радиусом 5. (х + 7)2
55. 2) Доказать, что уравнение х2 + у2 – 6х + 8у – 75 = 0 является
56. 3) Составьте уравнение окружности, проходящей через точку А (1; - 1) с центром С(- 2; 3).
57. 4) Составить уравнение окружности с центром на прямой у = 4, касающейся оси Ох в точке
59. Скачать презентацию

Слайд 2

Уравнения с одной переменной
Пусть f(х) и g(х) – выражения с переменной.

Равенство с переменной f(х) = g(х) называется уравнением с одной переменой.
Каждое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения (или решением уравнения).

Решить уравнение – значит найти множество его корней (решений).

Слайд 3

Примеры:
3 + х = 7 ⇒ х = 4.
Множество

решений уравнения {4}.

2) (х - 1)(х - 2) = 0 ⇒ х1 = 1, х2 = 2.
Множество решений {1; 2}.

Слайд 4

4) (3х + 1) · 2 = 6х + 2⇒
3)

Уравнение х2 + 1 = 0 не имеет действительных корней.
Множество решений - ∅.

6х + 2 = 6х + 2.
Множество решений данного уравнения – множество действительных чисел R.

Слайд 5

С точки зрения математической логики:
Уравнением с одной переменной называется одноместный предикат

f(х) = g(х), х ∈ Х.

Множество решений уравнения –множество истинности данного предиката (Т).

Слайд 6

Пример:
Множество значений переменной х, при которых f(х) и g(х) имеют определенные

значения (имеют смысл), называют областью определения уравнения или областью допустимых значений уравнения (Х).

Х = ]-∞; 4[ U ]4; 6[ U ]6; +∞[ .

Слайд 7

Два уравнения f1(х) = g1(х) и f2(х) = g2(х) называются равносильными,

если их множества решений равны,

то есть, если каждое решение первого уравнения является решением второго уравнения, и обратно.

Слайд 8

2) (2х + 1)·3 = 6х + 1, х2 + 1

= 0
Т1 = ∅, Т2 = ∅, Т1 = Т2 ⇒
(2х + 1)·3 = 6х + 1 ⇔ х2 + 1 = 0.

Примеры: 1) х2 – 4 = 0, (2х + 4)(х – 2) = 0. Т1 = {2, –2}, Т2 = {2, –2}, Т1 = Т2 ⇒
х2 – 4 = 0 ⇔ (2х + 4)(х – 2) = 0.

Слайд 9

Пусть даны два уравнения:
f1(х) = g1(х), (1)
f2(х) = g2(х). (2)
Если множество решений уравнения

(1) является подмножеством множества решений уравнения (2), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1), т.е. (1) ⇒ (2)

Другими словами, если каждый корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то уравнение (2) называется следствием уравнения (1).

Слайд 10

Пример: (х + 1)2 = 16, х + 1= 4.
Т2 =

{3}

Два уравнения равносильны в том и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого.

х + 1 = 4 ⇒ (х + 1)2=16

Т1 = { 3; -5}

Т2 ⊂ Т1 ⇒

Слайд 11

ТЕОРЕМЫ О РАВНОСИЛЬНОСТИ УРАВНЕНИЙ
Теорема 1. Если к обеим частям уравнения
f(х)

= g(х), х∈Х (1)
прибавить выражение t(х), имеющее значения при всех х ∈Х, то получится новое уравнение
f(х) + t(х) = g(х) + t(х), х∈Х, (2)
равносильное данному.

Доказательство

Пусть х = а – корень уравнения (1),
то есть f(а) = g(а) – истинное числовое равенство ⇒

f(а) + t(а) = g(а) + t(а), то есть х = а – корень уравнения (2).

Таким образом, (1) ⇒ (2) .

Слайд 12

2) Пусть х = а – корень уравнения (2), т. е.

f(а) + t(а) = g(а) + t(а) – истинное числовое равенство ⇒

Прибавим к обеим частям этого числового равенства число -t(а), получим f(а) = g(а),
то есть х = а – корень уравнения (1).

Таким образом, (2) ⇒ (1) .

Итак, уравнения (1) и (2) являются следствиями друг друга, а, значит, они равносильны.

Слайд 13

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же

число, то получим уравнение, равносильное данному.
2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствия

Слайд 14

Теорема 2. Если обе части уравнения
f(х) = g(х), х ∈Х (1)
умножить на

выражение t(х), которое имеет значение для всех х ∈Х и не обращается в нуль ни при одном х ∈Х, то получится уравнение
f(х) · t(х) = g(х) · t(х), х ∈Х, (2)
равносильное данному.

Доказательство
Аналогично доказательству теоремы 1 (самостоятельно).

Слайд 15

Следствие. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и

то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

-2х = 22 ⇔ х = -11

Пример: 26 = 2х + 48 ⇔ -2х = 48 – 26 ⇔

Слайд 16

Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1

и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни.

Пример: х(х + 1) = 3х, х ∈ R.

х + 1 = 3,

х = 2.

Нарушены условия теоремы 2:
разделили обе части уравнения на х, то есть умножили на выражение , которое при х = 0 не имеет смысла.

Верное решение: х(х+1) – 3х = 0 ⇒ х(х +1 - 3) = 0 ⇒
х(х - 2)=0 ⇒ х1 = 0, х2 = 2.

Но х = 0 – корень уравнения!

Слайд 17

Пример: х(х - 4)(х + 6)(х - 8)=0 ⇔
х =

0 ∨ х – 4 = 0 ∨ х + 6 = 0 ∨ х – 8 = 0.
Т = {0; 4; -6; 8}.

Метод разложения на множители

Пусть выражения f1(х), f2(х),…, fn(х) имеют значения при всех х ∈ Х. Тогда число а ∈Х может быть корнем уравнения f1(х) · f2(х)·…· fn(х) = 0 в том и только в том случае, когда хотя бы одно из выражений f1(х), f2(х),…, fn(х) обращается в нуль при х = а.

Уравнение f1(х) · f2(х)·…· fn(х) = 0 равносильно дизъюнкции уравнений
f1(х) = 0 ∨ f2(х) = 0 ∨ … ∨ fn(х) = 0.

Слайд 18

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Уравнение вида
ах = b
называется

линейным уравнением с одной переменной (или уравнением первой степени с одной переменной).

kх + n = 0

Слайд 19

Для линейного уравнения ах = b могут иметь место три случая:

если а ≠ 0, то уравнение ах = b имеет единственный корень х = b / а;
если а = 0, b ≠ 0, то уравнение не имеет корней. Т = ∅;
3) если а = 0, b = 0, то уравнение принимает вид: 0 · х = 0. Т = ]−∞;+∞[ = R.
В этом случае уравнение называется неопределенным.

Слайд 20

Пример: ⇒
8 + 3х + 2 - 2х = 5х

- 12

3х – 2х – 5х = -12 – 10

- 4х = - 22

х = 5,5

Ответ: Т = {5,5}.

Слайд 21

Графическое решение
линейного уравнения первой степени
ах = b ⇒ ах -

b = 0

Построим графики
у = ах – b и у = 0.

Корень уравнения ах - b = 0 – абсцисса точки М пересечения этой прямой с осью Ох.
М( ; 0).
Корень уравнения х =

Слайд 22

Пример: 2х - 3=1,5 х + 1.
Строим графики линейных

функций
у = 2х - 3 и у = 1,5х + 1

2) М – точка пересечения прямых. Абсцисса точки М является корнем данного уравнения: х = 8.

Ответ: Т = {8}.

Слайд 23

Квадратное уравнение
Уравнение вида
ах2 + bх + с = 0, (1)
где

а, b, с – действительные числа, причем а ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если а = 1, то квадратное уравнение называют приведенным;
если а ≠ 1, - неприведенным.

Слайд 24

Неполные квадратные уравнения
Если в квадратном уравнении b = 0, или с

= 0, или b = с = 0 , то квадратное уравнение называется неполным.

1) ах2 + bх = 0 ⇒ х(ах + b) = 0 ⇒ х1 = 0, х2 =

2) ах2 + с = 0 ⇒ ⇒

3) ах2 = 0 ⇒ х2 = 0 ⇒ х = 0.
Число 0 является двукратным корнем уравнения, то есть х1 = х2 = 0.

Слайд 25

Общая формула корней квадратного уравнения
(2)
ах2 + bх + с = 0

(1)

Слайд 26

Выражение D = b2 – 4ас называют дискриминантом квадратного уравнения (1).
Если

D > 0, то уравнение (1) имеет два действительных корня.
Если D = 0, то уравнение имеет один двукратный корень
х1 = х2 = . Или говорят «два равных корня».
Если D < 0, то уравнение (1) не имеет действительных корней.

Слайд 27

Приведенное квадратное уравнение
Квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 1,

то есть уравнение вида х2 + рх + q = 0, называется приведенным.

Слайд 28

Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с

противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену: х1 + х2 = -р,
х1 · х2 = q.

Обратная теорема. Если сумма двух неизвестных чисел равна р, а их произведение равно q, то искомые числа являются корнями квадратного уравнения х2 – рх + q = 0.

Слайд 29

Связь между квадратным трехчленом
и квадратным уравнением

Слайд 30

Биквадратное уравнение
Уравнение вида ах4 + bх2 + с = 0

(а ≠ 0) называется биквадратным.

t = х2, t2 = х4

аt 2 + bt + с = 0

Слайд 31

Дробно- рациональные уравнения

Слайд 32

Уравнение f(х) = g(х) называется
дробно-рациональным,
если f(х) и g(х) –

рациональные выражения, хотя бы одно из которых является дробным.

Слайд 33

Чтобы решить рациональное уравнение нужно:
1) найти область определения (или область допустимых

значений) уравнения (приравнивая знаменатели к нулю);
2) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;
3) освободиться от знаменателей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить полученное целое уравнение;
5) исключить из множества его решений те, которые не входят в область допустимых значений уравнения (то есть обращают в нуль общий знаменатель).

Слайд 34

Пример:
ОДЗ: Х = ]−∞; 0[ ∪ ]0; 2[ ∪ ]2; +∞[.

2 – х ≠ 0 ⇒ х ≠ 2,
х ≠ 0

Слайд 35

2·2х + х(2 - х) = 4·2
4х + 2х –

х2 = 8

х2 – 6х + 8 = 0

х1 = 2, х2= 4

Ответ: {4}.

Общий знаменатель имеющихся дробей 2х(2 - х).

ОДЗ !

Слайд 36

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ
Общий порядок решения задач с помощью уравнений

таков:
1. Вводят переменные, то есть буквами х, у, z,... обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.
2. С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют уравнение (или систему уравнений).

Слайд 37

3. Решают составленное уравнение (или систему уравнений) и из полученных решений

отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.
4. Если буквами х, у, z,… обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Слайд 38

Задачи на движение
Моторная лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, прошла

расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами 60 км. Найти скорость течения реки.

Пусть х км/ч – скорость течения реки.

(20 + х) км/ч – скорость лодки по течению,

(20 - х) км/ч – скорость лодки против течения,

Слайд 39

Слайд 40

60 · 4·(20 - х) + 60 · 4 ·(20 +

х) = 25 ·(20 + х)(20 - х)

4800 – 240х + 4800 + 240х = 10000 – 25х2

25х2 = 400

х2 = 16

х1 = 4, х2 = - 4 .

х > 0 ⇒ х = 4.
Ответ: скорость течения реки равна 4 км/ч.

Слайд 41

Задачи на совместную работу

Слайд 42

Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый

из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Пусть х ч – время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему,

(х + 5) ч – время, необходимое для выполнения всей работы второму рабочему.

Слайд 43

6х + 30 + 6х = х2 + 5х

Слайд 44

х2 – 7х – 30 = 0
х1 = 10, х2

= - 3 – посторонний корень, так как х > 0.
10 + 5 = 15.

Ответ: первый рабочий может выполнить работу за 10 ч, второй – за 15 ч.

Слайд 45

Равенство с двумя переменными
f(х, у) = 0 или f(х, у)

= g(х, у)
называется уравнением с двумя переменными.

УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти множество всех его решений

Слайд 46

Пример: х – 3у = 10.
(10; 0), (16; 2), (- 2;

- 4) - решения данного уравнения.
Выбрав произвольное значение одной переменной (например х), находим соответствующее значение другой переменной (у).

Слайд 47

С логической точки зрения:
Уравнением с двумя переменными называется двухместный предикат

f(х, у) = 0 или f(х, у) = g(х, у)

Уравнения с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одинаковые множества решений.
Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы о равносильных уравнениях (см. тему «Уравнение с одной переменной»).

Слайд 48