Криволинейный интеграл по координатам (2- рода). Лекция №13

понятию криволинейного интеграла II рода
Пусть под действием силы F = {P(x,y,z); Q(x,y,z); R(x,y,z)} точка перемещается по кривой (ℓ) из точки L1 в точку L2 .
ЗАДАЧА: Найти работу, которую совершает сила F.

Пусть (ℓ) = (L1L2) – простая (т.е. без кратных точек) спрямляемая (т.е. имеющая длину) кривая в пространстве Oxyz, и на кривой (ℓ) задана функция P(x,y,z).

…, Mn=L2 в направлении от L1 к L2.
Пусть Mi(xi; yi; zi). Обозначим Δxi = xi – xi–1 (т.е. проекцию дуги (Mi –1Mi) на ось Ox).
На каждой дуге (Mi–1Mi) выберем произвольную точку Ni(ξi;ηiζi) и вычислим произведение P(Ni) · Δxi .

по переменой x (соответствующей данному разбиению кривой (ℓ) и данному выбору точек Ni).

координатам).

свойствах интегралы существуют.

1. Криволинейный интеграл II рода зависит от направления движения по кривой. При изменении направления обхода кривой (L1L2) криволинейный интеграл II рода меняет знак, т.е.

2. Если кривая (ℓ) замкнута, то криволинейный интеграл II рода не зависит выбора начальной точки L1, а зависит от направления обхода кривой.

интеграл II рода по замкнутому контуру в положительном направлении обозначают:

Направление обхода замкнутой кривой, при котором область, лежащая «внутри» контура, остается слева по отношению к движущейся точке, называют положительным. Противоположное ему направление называют отрицательным.

В отрицательном направлении:

т.е.

3. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ криволинейного интеграла II рода.

функций равен алгебраической сумме криволинейных интегралов II рода от этих функций, т.е.

6. Если кривая (L1L2) разбита точкой K на две части (L1K) и (KL2), то

(свойство аддитивности криволинейного интеграла II рода).

кривая (ℓ)=(L1L2) задана параметрическими уравнениями:
x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), где α ≤ t ≤ β (L1↔α , L2↔β) . (2)

ТЕОРЕМА 1. Если (ℓ) – гладкая кривая, заданная уравнениями (2) и функция P(x,y,z) непрерывна на (ℓ), то P(x,y,z) интегрируема по переменной x по кривой (ℓ) и справедливо равенство

Аналогичным образом вычисляются интегралы

xOy , заданная уравнением y = φ(x) (где x ∊ [a;b], L1(a; φ(a)) , L2(b; φ(b)) и функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны на (ℓ), то существует криволинейный интеграл II рода и справедливо равенство

ТЕОРЕМА 3 (достаточные условия существования криволинейного интеграла II рода).
Если (ℓ) – кусочно-гладкая спрямляемая кривая и функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) кусочно-непрерывны на (ℓ) , то существует интеграл