Кривые второго порядка

Август 19, 2022

Главная
Математика
Кривые второго порядка

Содержание

2. ПОСТРОЙКА ЭЛЛИПСА Для того чтобы нарисовать эллипс, потребуются нить и кнопки. Прикрепим концы нити к фокусам.
3. Построение графика эллипса Пусть, например, на эллипсе взяты точки M1, M2, M3, M4 и т.д. (рис.
4. 1. Эллипс и окружность ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до
5. уравнение эллипса. 3. Построим эллипс.
6. Уравнение (1): называется каноническим уравнением эллипса. Система координат, в которой эллипс имеет такое уравнение, называется его
7. СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА 1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x=±a, y=±b. 2) Эллипс имеет центр симметрии (начало
9. Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса. Отрезок A1A2 и его длина
10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина ε , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса,
11. 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 были на оси Oy на
12. Точки пересечения эллипса с осями Найдём точки пересечения эллипса с осью Ох. Пусть у=0; тогда имеем:
13. Теоретический материал Окружность является частным случаем эллипса при Эксцентриситет окружности равен нулю. Чем ближе значение эксцентриситета
14. Теоретический материал Исследование формы эллипса по его уравнению Пример 1
15. Теоретический материал Пример 2
17. Скачать презентацию

Слайд 2

ПОСТРОЙКА ЭЛЛИПСА
Для того чтобы нарисовать эллипс, потребуются нить и кнопки. Прикрепим

концы нити к фокусам. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге эллипс.

Слайд 3

Построение графика эллипса
Пусть, например, на эллипсе взяты точки M1, M2, M3,

M4 и т.д. (рис. 1).
Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать:
F1M1 + FM1 = F1M2 + FM2 = F1M3 + FM3 = F1M4 + FM4 = const. (1)
Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойством (1), и есть эллипс.

Слайд 4

1. Эллипс и окружность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости,

сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2a (2a>|F1F2|).
Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.
Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O.

В такой системе координат:
F1(–c;0) и F2(c;0) ,
где |OF1| = |OF2| = c.

Слайд 5

уравнение эллипса.
3. Построим эллипс.

Слайд 6

Уравнение (1):
называется каноническим уравнением эллипса. Система координат, в которой эллипс имеет

такое уравнение, называется его канонической системой координат.

Слайд 7

СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА
1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x=±a, y=±b.
2) Эллипс

имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy).
Центр симметрии эллипса называют центром эллипса. Ось симметрии эллипса, проходящую через фокусы (ось Ox) называют большой (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – малой осью.
3) Из уравнения эллипса получаем:

Слайд 8

Слайд 9

Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса.

Отрезок A1A2 и его длина 2a называются большой (фокальной) осью, отрезок B1B2 и его длина 2b – малой осью.
Величины a и b называются большой и малой полуосью соответственно.
Длина отрезка F1F2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF1 , MF2 и их длины r1, r2 называются фокальными радиусами точки M

Слайд 10

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина ε , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его

большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е.

Величина ε характеризует форму эллипса.
Зная эксцентриситет эллипса легко найти фокальные радиусы точки M(x;y):

Замечания.
1) Пусть в уравнении эллипса a = b = r. Для этой кривой

Геометрически, это означает, что точки кривой равноудалены (на расстояние r) от ее центра O, т.е. кривая является окружностью.
Каноническое уравнение окружности принято записывать в виде x2 + y2 = r2 , где r – расстояние от любой точки окружности до ее центра; r называют радиусом окружности.

Слайд 11

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2

были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид

Для этого эллипса большая ось – ось Oy, малая ось – ось Ox, фокусы имеют координаты F1(0;–c) и F2(0;c) , где

Фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам

Слайд 12

Точки пересечения эллипса с осями
Найдём точки пересечения эллипса с осью Ох.
Пусть

у=0;
тогда имеем:
.
Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (-а; 0) (точки А и А1)

Слайд 13

Теоретический материал
Окружность
является частным случаем эллипса при
Эксцентриситет окружности равен нулю.

Чем ближе значение
эксцентриситета эллипса к нулю, тем больше форма эллипса
приближается к форме окружности.
Окружность, центром которой является точка ,
определяется уравнением

Слайд 14

Теоретический материал
Исследование формы эллипса по его уравнению
Пример 1

Слайд 15

Кривые второго порядка

Содержание

ПОСТРОЙКА ЭЛЛИПСАДля того чтобы нарисовать эллипс, потребуются нить и кнопки. Прикрепим

Построение графика эллипса Пусть, например, на эллипсе взяты точки M1, M2, M3,

1. Эллипс и окружность ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости,

уравнение эллипса. 3. Построим эллипс.

Уравнение (1):называется каноническим уравнением эллипса. Система координат, в которой эллипс имеет

СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА 1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x=±a, y=±b.2) Эллипс

Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина ε , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F1 и F2

Точки пересечения эллипса с осямиНайдём точки пересечения эллипса с осью Ох.Пусть

Теоретический материалОкружность является частным случаем эллипса при Эксцентриситет окружности равен нулю.

Теоретический материалИсследование формы эллипса по его уравнению Пример 1

Теоретический материал Пример 2

Похожие презентации