Способы решения квадратных уравнений

Сентябрь 4, 2022

Главная
Математика
Способы решения квадратных уравнений

Содержание

2. Исследовательская работа по теме: Способы решения квадратных уравнений
3. Впервые мы услышали о квадратных уравнениях на уроке математики от учителя. Особенно нас заинтересовали способы их
4. 1. Показать, что в математике, как и во всякой другой науке, достаточно своих неразгаданных тайн. 2.
5. История возникновения квадратных уравнений. Определение квадратного уравнения и его виды. Решение квадратных уравнений, используя формулу дискриминанта
6. ОКАЗЫВАЕТСЯ: Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные
7. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары: История возникновения квадратных уравнений. Обезьянок резвых
8. Штифель (1486 – 1567) в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому
9. произвольное квадратное уравнение - ? приведенное квадратное уравнение - ? полное - ? Формула корней квадратного
10. Квадратным уравнением называется уравнение вида a х2 + b x + c = 0 где х
11. Классификация . Квадратные уравнения. неполное полное а х2 + b х + с = 0, а≠0
12. Решение полного квадратного уравнения. D = b2 – 4 ∙ а ∙ с D > 0
13. 2 этап. Провели исследование приведенных квадратных уравнений, решив эти уравнения 3 и –4 15 и -3
14. Теорема Виета. Если корни х1 и х2 приведённого квадратного уравнения х2 + px + q =
15. Франсуа Виет Французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из
16. Проверка правильности найденных корней. Определение знаков корней квадратного уравнения. Устное нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения.
17. Представляем задания из экзаменационных материалов, которые легко решаются, зная теорему Виета: Верно ли, что числа 15
18. Мы решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета,
19. 3 этап. Провели исследование квадратных уравнений. Нашла связь между коэффициентами а, b, с и корнями квадратного
20. Если в уравнении ах2 + bх +с = 0, а + b + с = 0,
21. 4 этап. Провели исследование квадратных уравнений. Нашли связь между коэффициентами а, b, с и корнями квадратного
22. Если a = c, b = a2 + 1, то x1 = - a, а x2
23. Приём "переброски" Корни 9 и (-2). Делим числа 9 и ( -2) на 6: Ответ:
24. 1. Проводя исследование, выяснили, что кроме традиционных методов решения квадратного уравнения , которые мы узнали на
26. Скачать презентацию

Слайд 2

Исследовательская работа по теме:
Способы решения
квадратных уравнений

Слайд 3

Впервые мы услышали о квадратных уравнениях на уроке математики от учителя.

Особенно нас заинтересовали способы их решения, причем наиболее рациональные.
Во-первых, очень удивило сочетание слов «квадратное», «уравнение».
Во-вторых, чем знамениты эти уравнения.
В- третьих, почему их решением так долго занимались великие ученые.
В-четвертых, способы решения квадратных уравнений и их практическая значимость.
Эти вопросы нас очень заинтриговали, и мы решилип проследить историю возникновения и решения данной проблемы.

Введение

Слайд 4

1. Показать, что в математике, как и во всякой другой науке,

достаточно своих неразгаданных тайн. 2. Подчеркнуть, что математиков отличает нестандартное мышление. А иногда смекалка и интуиция хорошего математика просто приводят в восхищение! 3. Показать, что сама попытка решения квадратных уравнений содействовала развитию новых понятий и идей в математике. 4. Научиться работать с различными источниками информации. 5. Продолжить исследовательскую работу по математике

Цели и задачи проекта.

Слайд 5

История возникновения квадратных уравнений.
Определение квадратного уравнения и его виды.
Решение квадратных уравнений,

используя формулу дискриминанта .
Франсуа Виет и его теорема.
Свойства коэффициентов для быстрого нахождения корней квадратного уравнения.
Практическая направленность.

Этапы исследования

Слайд 6

ОКАЗЫВАЕТСЯ:
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499

г.
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач – ОЛИМПИАДЫ.

1 этап. История возникновения квадратных уравнений.

Слайд 7

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:
История возникновения

квадратных уравнений.

Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

Слайд 8

Штифель (1486 – 1567) в 1544 году сформировал общее правило решения

квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду x2 + bx = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c.
Франсуа Виет (1540 – 1603) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа.
Итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни.
В XVII веке благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Слайд 9

произвольное квадратное уравнение - ?
приведенное квадратное уравнение - ?
полное - ?
Формула

корней квадратного уравнения D =? Х =?

Слайд 10

Квадратным уравнением называется уравнение вида a х2 + b x +

c = 0
где х – переменная,
a, b и c – некоторые числа, причём а ≠ 0.

a x2 + b x + c = 0

Первый коэффициент

Второй коэффициент

Свободный
член

Слайд 11

Классификация .
Квадратные уравнения.
неполное
полное
а х2 + b х + с = 0,

а≠0

приведённое
x2 + p x + q = 0

b = 0;
a x2 + c = 0
c = 0;
a x2 + b x = 0
b = 0; c = 0;
a x2 = 0

Слайд 12

Решение полного квадратного уравнения.
D = b2 – 4 ∙ а ∙

D > 0

D = 0

D < 0

Уравнение имеет
два действительных
корня.

Уравнение имеет
два равных
действительных
корня.

Уравнение не имеет
корней.

х1= (- b - √ D )/ 2а;
х2= (- b + √ D )/2а

х1,2 = - b / 2а

a x2 + b x + c = 0

- «ДИСКРИМИНАНТ» - РАЗЛИЧИТЕЛЬ

Слайд 13

2 этап. Провели исследование приведенных квадратных уравнений, решив эти уравнения
3 и

–4

15 и -3

-3 и –5

3 и 7

2 и 3

5 и -2

-1

-45

-8

-10

-12

Нашли связь между коэффициентами а, b, с, суммой и произведением корней квадратного уравнения. Вывод:

Слайд 14

Теорема Виета. Если корни х1 и х2 приведённого квадратного уравнения

х2 + px + q = 0 , то х1 + х2 = - p, а х1 · х2 = q.
Обратное утверждение: Если числа m и n таковы, что m + n = - p, m∙n = q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + px + q = 0.
Обобщённая теорема: Числа х1 и х2 являются корнями приведённого квадратного уравнения х2 + px + q = 0 тогда и только тогда, когда х1 + х2 = - p, х1 · х2 = q.
Следствие: х2 + px + q = (х – х1)(х – х2)

Слайд 15

Франсуа Виет
Французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры.

Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Виета часто называют«отцом алгебры»

Слайд 16

Проверка правильности найденных корней.
Определение знаков корней квадратного
уравнения.
Устное

нахождение целых корней
приведённого квадратного уравнения.
Составление квадратных уравнений с
заданными корнями.
Разложение квадратного трёхчлена на
множители.

Ситуации, в которых может
использоваться теорема Виета.

Слайд 17

Представляем задания из экзаменационных материалов, которые легко решаются, зная теорему

Виета:
Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения x2 – 22x + 105 = 0 ?
Определите знаки корней уравнения
x2 + 5x – 36 = 0.
Найдите устно корни уравнения x2 – 9x + 20 = 0.
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/3 и 0,3.
5. Разложите квадратный трёхчлен x2 + 2x – 48 на множители.

Слайд 18

Мы решали квадратные уравнения различными способами:
выделением квадрата двучлена, по формуле

корней,
с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее.

Оказывается, есть ещё другие способы решения квадратных уравнений, которые позволят устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

Слайд 19

3 этап. Провели исследование квадратных уравнений.
Нашла связь между коэффициентами а,

b, с и корнями квадратного уравнения. Вывод:

Слайд 20

Если в уравнении ах2 + bх +с = 0, а +

b + с = 0, то один из его корней равен 1, а другой, в соответствии с теоремой Виета, равен с/а.

Пример: х2 + х – 2 = 0 ; а = 1 , в = 1 , с = -2
1 + 1 – 2 = 0 ; х1 = 1 , х2 = -2

Если в уравнении ах2 + bх + с = 0, а – b + с = 0 или b=a+c, то один из его корней равен –1, а другой –с/а

Пример : х2 – х – 2 = 0, 1 – (- 1 ) + ( -2 ) = 0,
х1 = -1, х2 = 2

Свойство 1.

Свойство 2.

Слайд 21

4 этап. Провели исследование квадратных уравнений.
Нашли связь между коэффициентами а,

b, с и корнями квадратного уравнения. Вывод:

Слайд 22

Если a = c, b = a2 + 1, то

x1 = - a, а
x2 = -1/a.
Если a = c, b = -(a2 + 1), то x1 = a, а
x2 = 1/a.

Пример. 3х2+10х+3=0, а=3, b=10, с=3.
Так как а=с=3, b=32+1=10, то х1=-3, х2=1/3

Пример. 3х2 - 10х+3=0, а=3,b=-10,с=3.
Так как а=с=3, b=-(32+1)=-10, то х1=3, х2=1/3

Свойство 3.

Свойство 4.

Слайд 23

Приём "переброски"
Корни 9 и (-2). Делим числа 9 и ( -2)

на 6:

Ответ:

Слайд 24

1. Проводя исследование, выяснили, что кроме традиционных методов решения квадратного
уравнения

, которые мы узнали на уроках алгебры, существуют еще не менее интересные, а главные полезные свойства, практически устного решения квадратного уравнения.
2. Исследовательскую работу по математике планируем продолжать и далее.
3. Результаты своего исследования мы представили в виде карточки-памятки по решению квадратного уравнения.

Вывод:

Способы решения квадратных уравнений

Содержание

Исследовательская работа по теме:Способы решения квадратных уравнений

Впервые мы услышали о квадратных уравнениях на уроке математики от учителя.

1. Показать, что в математике, как и во всякой другой науке,

История возникновения квадратных уравнений.Определение квадратного уравнения и его виды.Решение квадратных уравнений,

ОКАЗЫВАЕТСЯ: Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:История возникновения

Штифель (1486 – 1567) в 1544 году сформировал общее правило решения

произвольное квадратное уравнение - ?приведенное квадратное уравнение - ?полное - ?Формула

Квадратным уравнением называется уравнение вида a х2 + b x +

Классификация .Квадратные уравнения.неполноеполноеа х2 + b х + с = 0,

Решение полного квадратного уравнения.D = b2 – 4 ∙ а ∙

2 этап. Провели исследование приведенных квадратных уравнений, решив эти уравнения3 и