Виды ДУ 1 порядка и методы их решения

ДУ вида

где f1(x) и f2(y) – непрерывные функции, называется уравнением с

Правая часть такого уравнения представляет собой произведение, в котором один сомножитель

Теперь уравнение нужно преобразовать к виду, в котором дифференциал и функция

Так как дифференциалы равны, то неопределенные интегралы от этих выражений будут

ПРИМЕРЫ.

1

Найти частное решение уравнения

при у0 =4, х0 =-2.

РЕШЕНИЕ.

Потенцируем:

Это общее решение уравнения, описывающее семейство интегральных кривых.
Для нахождения частного решения

2

Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ.

Сделаем замену:

Тогда уравнение будет иметь вид:

Возвращаемся к старым переменным:

2

НЕПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДУ первого порядка называется неполным,
если функция явно зависит только от
одной

1

Пусть функция зависит только от х.

Решением этого уравнения будет

2

Пусть функция зависит только от у.

Решением этого уравнения будет

ПРИМЕР.

Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ.

3

ЛИНЕЙНЫЕ ДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ДУ первого порядка называется линейным,
если оно имеет вид

5

Функции f(x) и g(x) – непрерывны.
Неизвестная функция и ее производная входят

Для решения неоднородного ДУ первого порядка используется

метод вариации постоянной

Сначала решается

Это получено решение однородного ДУ.
Теперь ищем общее решение неоднородного ДУ. Будем

Подставляем это выражение в исходное уравнение (5) и находим неизвестную функцию

Интегрируем последнее выражение:

Результат интегрирования подставляем в общее решение однородного уравнения:

Это получено

ПРИМЕРЫ.

1

Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ.

Решаем однородное уравнение методом разделения переменных:

Получили решение однородного ДУ.
Теперь ищем общее решение неоднородного ДУ. Полагаем, что

Интегрируем:

Подставляем в общее решение однородного уравнения:

2

Найти общее решение уравнения

РЕШЕНИЕ.

Решаем однородное уравнение методом разделения переменных:

Получили общее решение однородного ДУ.
Теперь ищем общее решение неоднородного ДУ. Полагаем,