Лекция № 4. Тема: «Дифференциал и интеграл» Специальность: «Сестринское дело» Курс: 2 Дисциплина: «Математика»

Август 24, 2022

Главная
Математика
Лекция № 4. Тема: «Дифференциал и интеграл» Специальность: «Сестринское дело» Курс: 2 Дисциплина: «Математика»

Содержание

2. Функция. Предел функции Функцией называется соответствие при котором каждому значению x из некоторого множества D (D∈R)
3. Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x; y), где x пробегает всю область определения
4. Рассмотрим интервал с центром в точке x0 и радиусом r Окрестностью точки x0 радиуса r называется
5. Предел функции Число A называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого числа ε>0,
7. Теоремы о пределах Теорема о единственности предела: если предел функции существует, то он единственный (число A)
8. Теорема о пределе произведения: если существуют пределы функций f(x) и g(x), то существует предел их произведения
9. Следствия из теорем Следствие 1: постоянный множитель можно вынести за знак предела Следствие 2: если n
10. Следствие 3: предел многочлена равен значению многочлена в точке x0 при Следствие 4: предел дробно –рациональной
11. Пример:
12. Производная функции и дифференциал Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
13. Свойства производной Теорема: производная суммы, произведения, частного вычисляются по следующим формулам:
14. Производная сложной функции: Пример:
15. Таблица производных
17. Дифференциал функции Нахождение производной называется дифференцированием Дифференциал – это произведение производной функции на приращение аргумента функции
18. Свойства дифференциала Дифференциал функции – это главная часть её приращения Дифференциал функции – это линейная функция
19. Вычисление дифференциала функции Пример.
20. Применение дифференциала к приближенным вычислениям Для функции y=f(x) и точки x0 можно приближенно вычислить значение функции
21. Для y = xn (x0+ Δx)n ≈ x0n + nx0n-1Δx Пример:
22. Первообразная функции и интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Свойства неопределенного интеграла Таблица первообразных Методы интегрирования: непосредственное,
24. Скачать презентацию

Слайд 2

Функция. Предел функции
Функцией называется соответствие при котором каждому значению x из

некоторого множества D (D∈R) сопоставляется по некоторому правилу единственное число y, зависящее от x
y= f(x)
x – аргумент функции (независимая переменная)
y – значение функции f (зависимая переменная)
D – область определения функции D (f) – все значения x
Все значения y – область значений функции f , E (f)

Слайд 3

Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x; y), где

x пробегает всю область определения функции f
Способы задания функции
Аналитический (рекуррентный) – формула
Графический – график функции
Табличный – таблица зависимости x и y

Слайд 4

Рассмотрим интервал с центром в точке x0 и радиусом r
Окрестностью точки

x0 радиуса r называется интервал с центром в точке x0 радиуса r, δ(x0)
Если рассматривается окрестность без самой точки x0, то она называется проколотой °δ(x0)

Слайд 5

Предел функции
Число A называется пределом функции f(x) в точке x0, если

для любого числа ε>0, существует окрестность δ>0, такая, что выполняется неравенство|f(x)-A|<ε, для любого x из окрестности δ(x0)
−εA−ε

Слайд 6

Слайд 7

Теоремы о пределах
Теорема о единственности предела: если предел функции существует, то

он единственный (число A)
Теорема о пределе суммы: если существуют пределы функций f(x) и g(x), то существует предел их суммы равный сумме пределов функций f(x) и g(x)

Слайд 8

Теорема о пределе произведения: если существуют пределы функций f(x) и g(x),

то существует предел их произведения равный произведению пределов функций f(x) и g(x)
Теорема о пределе частного: если существуют пределы функций f(x) и g(x) и предел функции g(x) не равен нулю, то существует предел их частного равный частному пределов функций f(x) и g(x)

Слайд 9

Следствия из теорем
Следствие 1: постоянный множитель можно вынести за знак предела
Следствие

2: если n натуральное число, то

Слайд 10

Следствие 3: предел многочлена
равен значению многочлена в точке x0 при

Следствие 4: предел дробно –рациональной функции
равен значению этой функции в точке x0 при
если x принадлежит области определения функции

Слайд 11

Пример:

Слайд 12

Производная функции и дифференциал
Производная функции – это предел отношения приращения функции

к приращению аргумента, когда приращения аргумента стремится к нулю

Слайд 13

Свойства производной
Теорема: производная суммы, произведения, частного вычисляются по следующим формулам:

Слайд 14

Производная сложной функции:
Пример:

Слайд 15

Таблица производных

Слайд 16

Слайд 17

Дифференциал функции
Нахождение производной называется дифференцированием
Дифференциал – это произведение производной функции на

приращение аргумента функции y = f(x)
dy = f'(x)Δx
Рассмотрим функцию y = x, тогда y'= 1 ⇒ dx = Δx ⇒
dy = f'(x)dx ⇒ (отношение дифференциалов)

Слайд 18

Свойства дифференциала
Дифференциал функции – это главная часть её приращения
Дифференциал функции –

это линейная функция приращения аргумента или касательная к графику функции ⇒ геометрически dy = f'(x)dx - уравнение касательной в системе координат (dx; dy) ⇒

Слайд 19

Вычисление дифференциала функции
Пример.

Слайд 20

Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Для функции y=f(x) и точки x0 можно

приближенно вычислить значение функции в точке x близкой к x0, если знать приращение функции Δy на [x0; x], то точное значение функции f(x) = y0+ Δy, где y0 значение функции в точке x0
Приближенные формулы основаны на замене приращения функции Δy её дифференциалом dy
Δy = f(x) - y0
f(x) - y0 ≈ f '(x0) Δx
f(x) ≈ y0+ dy ≈ y0 + f '(x0)(x – x0)

Слайд 21

Для y = xn
(x0+ Δx)n ≈ x0n + nx0n-1Δx
Пример:

Слайд 22

Первообразная функции и интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Свойства неопределенного интеграла
Таблица первообразных
Методы интегрирования:

непосредственное, замена переменной, интегрирование по частям
Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница
Применение определенного интеграла: вычисление площади фигуры, длины дуги, объема тела
Дифференциальные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными

Лекция № 4. Тема: «Дифференциал и интеграл» Специальность: «Сестринское дело» Курс: 2 Дисциплина: «Математика»

Содержание

Функция. Предел функцииФункцией называется соответствие при котором каждому значению x из

Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x; y), где

Рассмотрим интервал с центром в точке x0 и радиусом rОкрестностью точки

Предел функцииЧисло A называется пределом функции f(x) в точке x0, если

Теоремы о пределахТеорема о единственности предела: если предел функции существует, то

Теорема о пределе произведения: если существуют пределы функций f(x) и g(x),

Следствия из теоремСледствие 1: постоянный множитель можно вынести за знак пределаСледствие

Следствие 3: предел многочлена равен значению многочлена в точке x0 при

Пример:

Производная функции и дифференциалПроизводная функции – это предел отношения приращения функции

Свойства производнойТеорема: производная суммы, произведения, частного вычисляются по следующим формулам:

Производная сложной функции:Пример:

Таблица производных

Дифференциал функцииНахождение производной называется дифференцированиемДифференциал – это произведение производной функции на

Свойства дифференциалаДифференциал функции – это главная часть её приращенияДифференциал функции –

Вычисление дифференциала функцииПример.

Применение дифференциала к приближенным вычислениямДля функции y=f(x) и точки x0 можно

Для y = xn(x0+ Δx)n ≈ x0n + nx0n-1ΔxПример:

Первообразная функции и интегралПервообразная и неопределенный интегралСвойства неопределенного интегралаТаблица первообразныхМетоды интегрирования:

Похожие презентации