Лекция 06. Основные понятия проективной геометрии (продолжение)

1. Некоторые воспоминания

Проективные свойства
(инварианты)

Проективные свойства
(инварианты)
инцидентность коллинеарность конкуррентность

2. Принцип
двойственности

Взаимно-двойственные элементы
точка прямая

Взаимно-двойственные элементы
точка прямая

Взаимно-двойственные операции
провести прямую через точку отметить точку

Пример замены «точка ↔ прямая»

Пример замены «точка ↔ прямая»

Пример замены «точка ↔ прямая»

Пример замены «точка ↔ прямая»

Пример замены «точка ↔ прямая»

Принцип двойственности
Из каждого проективного предложения относительно точек и прямых на

Принцип двойственности
Две фигуры взаимно двойственны, если одна может быть получена из

Принцип двойственности
Две теоремы взаимно двойственны, если одна превращается в другую при замене

Принцип двойственности
Явление двойственности резко отличает проективную геометрию от элементарной (метрической), в которой

Принцип двойственности
Явление двойственности резко отличает проективную геометрию от элементарной (метрической), в которой

Принцип двойственности
Каждой верной теореме проективной геометрии сопоставляется двойственная ей, также верная теорема.

Принцип двойственности
Каждой верной теореме проективной геометрии сопоставляется двойственная ей, также верная теорема.
Следствие. Двойственную

Перспективность относительно точки
Есть две конфигурации из точек (могут быть и проходящие

Перспективность относительно точки
Есть две конфигурации из точек (могут быть и проходящие

Перспективность относительно точки
Есть две конфигурации из точек (могут быть и проходящие

Перспективность относительно прямой
Есть две конфигурации из прямых (могут быть выделены точки

Перспективность относительно прямой
Есть две конфигурации из прямых (могут быть выделены точки

Перспективность относительно прямой
Есть две конфигурации из прямых (могут быть выделены точки

Экзотические случаи

Ось перспективы – несобственная прямая

Ось перспективы – светлая прямая (третья

Пример. Теорема Дезарга

Пример. Теорема Дезарга

Пример. Теорема Дезарга

Пример. Теорема Дезарга

Пример. Теорема Дезарга

Вспомогательные теоремы

Теорема Чевы

(*)

Теорема Чевы

Если три чевианы AX, BY, CZ треугольника ABC конкуррентны, то выполняется

Теорема Чевы

Если три чевианы AX, BY, CZ треугольника ABC конкуррентны, то выполняется

Теорема Менелая

(*)

Теорема Менелая

Если точки X, Y, Z, лежащие на сторонах BC, CA, AB треугольника

Теорема Менелая

Если точки X, Y, Z, лежащие на сторонах BC, CA, AB треугольника

Резюме
Теорема Чевы – критерий конкуррентности.
Теорема Менелая – критерий коллинеарности.

Домашнее задание
Доказать теоремы
Чевы и Менелая
(прямую и обратную).

Теорема Чевы (доказательство)

Теорема Чевы (доказательство)

Площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников:

Теорема Чевы (доказательство)

Площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников:

Теорема Чевы (доказательство)

Площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников:

Теорема Чевы (доказательство)

Площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников:

Аналогично:

Теорема Чевы (доказательство)

Площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников:

Аналогично:

Перемножим

Теорема Чевы (доказательство)

Площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников:

Аналогично:

Перемножим

Теорема Чевы (доказательство)

Площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников:

Аналогично:

Перемножим

Теорема Чевы (доказательство)

P

Теорема Чевы (доказательство)

P

Пусть AX и BY пересекаются в т.P.
Третья Чевиана –

Теорема Чевы (доказательство)

P

Пусть AX и BY пересекаются в т.P.
Третья Чевиана –

Теорема Чевы (доказательство)

P

Пусть AX и BY пересекаются в т.P.
Третья Чевиана –

Теорема Чевы (доказательство)

P

Пусть AX и BY пересекаются в т.P.
Третья Чевиана –

Теорема Менелая (доказательство)

Теорема Менелая (доказательство)

h1

h3

h2

Теорема Менелая (доказательство)

h1

h3

h2

Теорема Менелая (доказательство)

h1

h3

h2

Перемножим:

Теорема Менелая (доказательство)

Теорема Менелая (доказательство)

Пусть AB и XY пересекаются в Z'.

Z'

Теорема Менелая (доказательство)

Пусть AB и XY пересекаются в Z'.
Тогда по прямой теореме:

Z'

Теорема Менелая (доказательство)

Пусть AB и XY пересекаются в Z'.
Тогда по прямой теореме:

А